Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral tripla.
\int_{0}^{1} \int_{-2 x}^{1} \int_{0}^{x+y} 2 x d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar (descrever) a região de integração definida pelos limites.
  • Calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{-2x}^{1}\int_{0}^{x+y} 2x \,dz\,dy\,dx.
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
  • A variável x varia de 0 até 1.
  • Para cada x fixo, a variável y varia de -2x até 1.
  • Para cada par (x,y) fixo, a variável z varia de 0 até x+y.
  • A função integranda é 2x.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região R em (x,y,z) definida pelos limites. Pelo enunciado,
R=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\\\ -2x\le y\le 1,\\\ 0\le z\le x+y\}.
Observações úteis para esboçar:
  • A superfície superior é o plano z=x+y.
  • A superfície inferior é o plano z=0 (o plano xy).
  • As “paredes” verticais são dadas por x=0, x=1 e y=1, além da linha y=-2x como limite inferior de y.
Importante: para que exista algum z com 0\le z\le x+y é preciso x+y\ge 0, isto é, y\ge -x. Assim, embora o enunciado permita y tão baixo quanto -2x, os pontos com y<-x não têm altura positiva (o intervalo de z fica vazio). Como x\ge0, verifica-se que -x\ge -2x, portanto, os valores de y que realmente geram altura estão em
-y\text{ mínimo efetivo }=-x.í
Logo a projeção efetiva da região R no plano xy (base sobre a qual há altura positiva) é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ -x\le y\le 1\}.
Esboço verbal da região:
  • A base D é um trapézio no plano xy com vértices (0,0), (0,1), (1,1) e (1,-1); a aresta inferior é a reta y=-x.
  • Sobre cada ponto (x,y)\in D a altura em z vai de z=0 até o plano z=x+y. Portanto R é o sólido acima do plano z=0 e abaixo do plano inclinado z=x+y, cortado verticalmente pelas faces x=0, x=1 e y=1, e cuja base no plano xy é o trapézio D.
(Se fosse fazer um desenho: desenhar o trapézio D no plano xy, e em seguida desenhar o plano inclinado z=x+y acima dele; as alturas são as distâncias verticais entre z=0 e z=x+y.)

Passo 3

Agora calcular a integral iterada, começando pela integral mais interna em z. Como 2x é constante em relação a z,
\int_{0}^{x+y} 2x \,dz = 2x\int_{0}^{x+y} 1\,dz = 2x\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} = 2x(x+y).
Isso é válido como expressão algébrica mesmo quando x+y for negativo; geometricamente, os pontos com x+y<0 não contribuem positivamente porque o sólido não tem altura ali. Seguirei integrando diretamente com os limites dados.

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior, a integral dupla intermediária fica
\int_{-2x}^{1} 2x(x+y)\,dy.
Desenvolvendo passo a passo:
Calcule a primitiva em y de x+y:
\int (x+y)\,dy = x y + \frac{y^{2}}{2}.
Portanto
\int_{-2x}^{1} 2x(x+y)\,dy = 2x\left[ x y + \frac{y^{2}}{2} \right]_{y=-2x}^{y=1}.
Avaliaremos a expressão dentro dos colchetes:
  • Em y=1: x\cdot 1 + \dfrac{1^{2}}{2}=x+\dfrac{1}{2}.
  • Em y=-2x: x\cdot(-2x)+\dfrac{(-2x)^{2}}{2}=-2x^{2}+\dfrac{4x^{2}}{2}=-2x^{2}+2x^{2}=0.
Assim o termo entre colchetes é
\left( x+\dfrac{1}{2} \right)-0 = x+\dfrac{1}{2}.
Multiplicando por 2x obtém-se a função a integrar em x:
2x\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=2x^{2}+x.
Observação didática rápida: aqui houve uma simplificação conveniente porque a avaliação no limite inferior deu zero; por isso não é preciso mudar explicitamente os limites de y para -x ao computar a integral — o cálculo direto com os limites dados funciona e simplifica.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (2x^{2}+x)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int 2x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3},\qquad \int x\,dx = \frac{1}{2}x^{2}.
Portanto
\int_{0}^{1} (2x^{2}+x)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}+\frac{1}{2}.
Fazendo a soma com denominador comum:
\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}.

Passo 6

Resumo final e motivação: a integral foi calculada integrando em z (fácil porque integrando constante 2x), depois em y (a parte com -2x cancelou), e por fim em x. Geometricamente trata-se do volume (com densidade ou integranda 2x) do sólido sob o plano z=x+y e acima de z=0 sobre a base D=\{(x,y):0\le x\le1,\\\ -x\le y\le1\}. Muita calma — esse tipo de integral fica bem direto ao seguir a ordem dada.

Resposta

\dfrac{7}{6}

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