Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral tripla.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar (descrever) a região de integração definida pelos limites.
- Calcular a integral tripla
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
- A variável
varia de até . - Para cada
fixo, a variável varia de até . - Para cada par
fixo, a variável varia de até . - A função integranda é
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
em
definida pelos limites. Pelo enunciado,
Observações úteis para esboçar:
- A superfície superior é o plano
. - A superfície inferior é o plano
(o plano ). - As “paredes” verticais são dadas por
, e , além da linha como limite inferior de .
Importante: para que exista algum
com
é preciso
, isto é,
. Assim, embora o enunciado permita
tão baixo quanto
, os pontos com
não têm altura positiva (o intervalo de
fica vazio). Como
, verifica-se que
, portanto, os valores de
que realmente geram altura estão em
Logo a projeção efetiva da região
no plano
(base sobre a qual há altura positiva) é
Esboço verbal da região:
- A base
é um trapézio no plano com vértices , , e ; a aresta inferior é a reta . - Sobre cada ponto
a altura em vai de até o plano . Portanto é o sólido acima do plano e abaixo do plano inclinado , cortado verticalmente pelas faces , e , e cuja base no plano é o trapézio .
(Se fosse fazer um desenho: desenhar o trapézio
no plano
, e em seguida desenhar o plano inclinado
acima dele; as alturas são as distâncias verticais entre
e
.)
Passo 3
Agora calcular a integral iterada, começando pela integral mais interna em
. Como
é constante em relação a
,
Isso é válido como expressão algébrica mesmo quando
for negativo; geometricamente, os pontos com
não contribuem positivamente porque o sólido não tem altura ali. Seguirei integrando diretamente com os limites dados.
Passo 4
Substituindo o resultado do passo anterior, a integral dupla intermediária fica
Desenvolvendo passo a passo:
Calcule a primitiva em de
:
Calcule a primitiva em
Portanto
Avaliaremos a expressão dentro dos colchetes:
- Em
: - Em
:
Assim o termo entre colchetes é
Multiplicando por
obtém-se a função a integrar em
:
Observação didática rápida: aqui houve uma simplificação conveniente porque a avaliação no limite inferior deu zero; por isso não é preciso mudar explicitamente os limites de
para
ao computar a integral — o cálculo direto com os limites dados funciona e simplifica.
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Calcule as primitivas:
Portanto
Fazendo a soma com denominador comum:
Passo 6
Resumo final e motivação: a integral foi calculada integrando em
(fácil porque integrando constante
), depois em
(a parte com
cancelou), e por fim em
. Geometricamente trata-se do volume (com densidade ou integranda
) do sólido sob o plano
e acima de
sobre a base
. Muita calma — esse tipo de integral fica bem direto ao seguir a ordem dada.