Exercício 13. Suponha que o tempo (em horas) de falha de ventiladores em um computador pessoal possa ser modelado por uma distribuição exponencial, com média de 3300 .
Calcule
e
. Observe que esses resultados são iguais, consequência de uma importante propriedade da distribuição Exponencial chamada de Propriedade da Falta de Memória.
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses dados do enunciado):
- O tempo de falha
(em horas) de ventiladores é modelado por uma distribuição Exponencial. - A média é
(horas).
O enunciado pede dois valores:
-
. -
.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas da distribuição Exponencial (explicando o que cada coisa é):
- A distribuição Exponencial tem um parâmetro
chamado taxa (unidade: 1/hora). - A função densidade de probabilidade é
onde
é o tempo até a falha (horas) e
controla quão rápido as probabilidades decrescem.
- A função de distribuição acumulada é
- A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que
horas) é
- A relação entre a média e
é
Aqui cada símbolo:
é a média do tempo de vida,
é a taxa,
é um tempo específico.
Passo 3
Usando que a média é
, obtemos
. Portanto
Em valor decimal aproximado,
Passo 4
Calcular
usando a função sobrevivência:
Para obter uma aproximação numérica sem depender de uma calculadora complexa, podemos usar uma decomposição simples:
Conhecendo
(logo
) e usando a aproximação de primeira ordem
, multiplicamos:
Então uma boa aproximação é
Passo 5
Agora vamos calcular
. Pela definição de probabilidade condicional,
Usando a forma exponencial da sobrevivência,
Observe que isso é exatamente
. Essa igualdade é a chamada Propriedade da Falta de Memória da distribuição Exponencial: a probabilidade de sobreviver mais
horas dado que já sobreviveu
horas depende só de
, não de
.
Passo 6
Aplicando com
:
Portanto os dois pedidos do enunciado são iguais e valem aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação rápida (para ficar confiante na prova): se um ventilador já funcionou
horas, a probabilidade de durar mais
horas (até
) é a mesma que a probabilidade de um ventilador novo durar mais
horas — isso é a falta de memória. Levanta o astral: você já entendeu a propriedade crucial e como aplicar no exame!