Exercício 13. Suponha que o tempo (em horas) de falha de ventiladores em um computador pessoal possa ser modelado por uma distribuição exponencial, com média de 3300 .
Calcule P(X>10000 \mid X>8000) e P(X>2000). Observe que esses resultados são iguais, consequência de uma importante propriedade da distribuição Exponencial chamada de Propriedade da Falta de Memória.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses dados do enunciado):
  • O tempo de falha X (em horas) de ventiladores é modelado por uma distribuição Exponencial.
  • A média é 3300 (horas).
    O enunciado pede dois valores:
  1. P(X>10000 \mid X>8000).
  2. P(X>2000).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas da distribuição Exponencial (explicando o que cada coisa é):
  • A distribuição Exponencial tem um parâmetro \lambda>0 chamado taxa (unidade: 1/hora).
  • A função densidade de probabilidade é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }x\ge0,
onde x é o tempo até a falha (horas) e \lambda controla quão rápido as probabilidades decrescem.
  • A função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}.
  • A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que x horas) é
S(x)=P(X>x)=e^{-\lambda x}.
  • A relação entre a média e \lambda é
E[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui cada símbolo: E[X] é a média do tempo de vida, \lambda é a taxa, x é um tempo específico.

Passo 3

Usando que a média é 3300, obtemos \dfrac{1}{\lambda}=3300. Portanto
\lambda=\frac{1}{3300}.
Em valor decimal aproximado,
\lambda\approx 0,00030303\\ (\text{por hora}).

Passo 4

Calcular P(X>2000) usando a função sobrevivência:
P(X>2000)=e^{-\lambda\cdot 2000}=e^{-2000/3300}=e^{-0,606060\ldots}.
Para obter uma aproximação numérica sem depender de uma calculadora complexa, podemos usar uma decomposição simples:
e^{-0,60606}=e^{-0,6}\,e^{-0,00606}.
Conhecendo e^{0,6}\approx 1,8221188 (logo e^{-0,6}\approx 0,5488116) e usando a aproximação de primeira ordem e^{-0,00606}\approx 1-0,00606\approx 0,99394, multiplicamos:
P(X>2000)\approx 0,5488116\times 0,99394\approx 0,5456.
Então uma boa aproximação é
P(X>2000)\approx 0,5456.

Passo 5

Agora vamos calcular P(X>10000\mid X>8000). Pela definição de probabilidade condicional,
P(X>10000\mid X>8000)=\frac{P(X>10000\\ \text{e}\\ X>8000)}{P(X>8000)}=\frac{P(X>10000)}{P(X>8000)}.
Usando a forma exponencial da sobrevivência,
\frac{P(X>10000)}{P(X>8000)}=\frac{e^{-\lambda\cdot 10000}}{e^{-\lambda\cdot 8000}}=e^{-\lambda(10000-8000)}=e^{-\lambda\cdot 2000}.
Observe que isso é exatamente P(X>2000). Essa igualdade é a chamada Propriedade da Falta de Memória da distribuição Exponencial: a probabilidade de sobreviver mais t horas dado que já sobreviveu s horas depende só de t, não de s.

Passo 6

Aplicando com \lambda=1/3300:
P(X>10000\mid X>8000)=e^{-\lambda\cdot 2000}=e^{-2000/3300}\approx 0,5456.
Portanto os dois pedidos do enunciado são iguais e valem aproximadamente 0,5456.

Passo 7

Interpretação rápida (para ficar confiante na prova): se um ventilador já funcionou 8000 horas, a probabilidade de durar mais 2000 horas (até 10000) é a mesma que a probabilidade de um ventilador novo durar mais 2000 horas — isso é a falta de memória. Levanta o astral: você já entendeu a propriedade crucial e como aplicar no exame!

Resposta

P(X>10000 \mid X>8000)=e^{-2000/3300}\approx 0,5456
P(X>2000)=e^{-2000/3300}\approx 0,5456

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