Determine a imagem de
f(x)=x^{2}-4 x+7, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a função f definida por
f(x)=x^{2}-4x+7,\qquad x\in\mathbb{R},
  • Pergunta: determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f quando x percorre todos os reais).
Informações úteis fornecidas explicitamente:
  • É um polinômio quadrático: o coeficiente do termo x^{2} é a=1, o coeficiente do termo x é b=-4 e o termo constante é c=7.
  • O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é \mathbb{R}.

Passo 2

Idéia principal (explicação didática de um conceito que vou usar): um polinômio quadrático \,ax^{2}+bx+c com a>0 representa uma parábola que “abre para cima” e, portanto, tem um valor mínimo (um vértice). A abscissa do vértice é dada pela fórmula
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a},
onde a e b são os coeficientes do polinômio. Aqui cada símbolo significa:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • x_{\text{v}} é o valor de x onde a função atinge seu mínimo (quando a>0).
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=1 e b=-4:
x_{\text{v}}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2.

Passo 3

Agora calcule o valor da função no vértice (esse será o valor mínimo da função). Substituindo x=2 em f(x) e fazendo as contas passo a passo:
f(2)=2^{2}-4\cdot 2+7.
Calcule cada termo:
2^{2}=4,\qquad -4\cdot 2=-8.
Somando:
f(2)=4-8+7=(4-8)+7=-4+7=3.
Portanto o valor mínimo da função é 3, alcançado em x=2.

Passo 4

Outra forma didática (completar o quadrado) — explicando o procedimento passo a passo:
Começa-se com
f(x)=x^{2}-4x+7.
Agrupa-se os termos em x e completa-se o quadrado adicionando e subtraindo o mesmo número:
x^{2}-4x+7=(x^{2}-4x+4)+3=(x-2)^{2}+3.
Aqui foi usado que x^{2}-4x+4=(x-2)^{2} e que 7=4+3.
A lição importante: (x-2)^{2} é um quadrado perfeito e, para todo x\in\mathbb{R}, vale (x-2)^{2}\ge 0. Logo
f(x)=(x-2)^{2}+3\ge 0+3=3,
com igualdade exatamente quando (x-2)^{2}=0, isto é, quando x=2. Isso confirma o resultado do Passo 3 de forma algébrica.

Passo 5

Resumo didático de como fazer rápido na prova:
  • Identifique a. Se a>0 a parábola tem mínimo; se a<0 tem máximo.
  • Calcule a abscissa do vértice com x_{\text{v}}=-\dfrac{b}{2a}.
  • Avalie f(x_{\text{v}}) (ou complete o quadrado) para obter o valor extremo.
  • A imagem será do tipo [\,\min,\infty) se a>0 ou (-\infty,\,\max] se a<0.
Dica de incentivo: calma — para quadráticas o método do vértice ou completar o quadrado resolve rapidinho. Já estás no caminho certo!

Resposta

[3,\infty)

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