Determine a imagem de
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a função
definida por
- Pergunta: determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
quando percorre todos os reais).
Informações úteis fornecidas explicitamente:
- É um polinômio quadrático: o coeficiente do termo
é , o coeficiente do termo é e o termo constante é . - O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é
.
Passo 2
Idéia principal (explicação didática de um conceito que vou usar): um polinômio quadrático
com
representa uma parábola que “abre para cima” e, portanto, tem um valor mínimo (um vértice). A abscissa do vértice é dada pela fórmula
onde
e
são os coeficientes do polinômio. Aqui cada símbolo significa:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o valor de onde a função atinge seu mínimo (quando ).
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com
e
:
Passo 3
Agora calcule o valor da função no vértice (esse será o valor mínimo da função). Substituindo
em
e fazendo as contas passo a passo:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto o valor mínimo da função é
, alcançado em
.
Passo 4
Outra forma didática (completar o quadrado) — explicando o procedimento passo a passo:
Começa-se com
Começa-se com
Agrupa-se os termos em
e completa-se o quadrado adicionando e subtraindo o mesmo número:
Aqui foi usado que
e que
.
A lição importante:
é um quadrado perfeito e, para todo
, vale
. Logo
com igualdade exatamente quando
, isto é, quando
. Isso confirma o resultado do Passo 3 de forma algébrica.
Passo 5
Resumo didático de como fazer rápido na prova:
- Identifique
. Se a parábola tem mínimo; se tem máximo. - Calcule a abscissa do vértice com
. - Avalie
(ou complete o quadrado) para obter o valor extremo. - A imagem será do tipo
se ou se .
Dica de incentivo: calma — para quadráticas o método do vértice ou completar o quadrado resolve rapidinho. Já estás no caminho certo!