Determine a imagem de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a imagem (intervalo de valores que
assume quando
varia por todos os reais). Informações relevantes que temos:
- A função é definida para todo
(domínio é ). - A expressão já está na forma
, que é um polinômio de segundo grau escrito com um quadrado explícito. - O coeficiente que multiplica o quadrado é
, um número negativo.
Passo 2
Entender o que significa a forma
. Vamos analisar peça por peça:
- Para qualquer número real
vale . Aqui , portanto para todo . - Multiplicando por
temos para todo (porque multiplicar por número negativo inverte a desigualdade). - Somando
a isso, obtemos que para todo . Ou seja, é um limite superior imediato para os valores de .
Isso já sugere que
nunca ultrapassa
; pode atingir
em algum ponto e assume valores menores.
Passo 3
Determinar se
é realmente atingido e onde. Como
, o menor valor possível de
é
, e isso acontece exatamente quando
, ou seja, quando
. Substituindo,
Logo
atinge o valor
em
. Como vimos antes
para todo
, concluímos que
é o valor máximo da função.
Passo 4
Mostrar que valores arbitrariamente negativos são obtidos (ou seja, não existe mínimo finito). Observe que quando
cresce,
, então
e consequentemente
Isto significa que
não tem limite inferior finito: para qualquer número
negativo grande, existe
tal que
. Portanto a imagem não está limitada por baixo.
Passo 5
Provar que todo valor
com
é realmente assumido por
(ou seja, provar que o conjunto de valores é exatamente
). Tomemos um
com
e resolvamos a equação
:
Isolando o quadrado,
Como
, o lado direito
é um número
, portanto admite raiz quadrada real. Assim existem soluções reais
Portanto, para todo
existe pelo menos um
com
. Juntando com o que vimos antes (nenhum
é possível), concluímos que a imagem de
é exatamente o conjunto de todos os reais menores ou iguais a
.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
-
dá (valor máximo). -
dá . -
dá , mostrando que valores muito negativos ocorrem.