Determine a imagem de
g(x)=3-2(x+1)^{2}, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=3-2(x+1)^{2}, \quad x\in\mathbb{R},
e pede para determinar a imagem (intervalo de valores que g(x) assume quando x varia por todos os reais). Informações relevantes que temos:
  • A função é definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio é \mathbb{R}).
  • A expressão já está na forma 3-2(\,x+1\,)^{2}, que é um polinômio de segundo grau escrito com um quadrado explícito.
  • O coeficiente que multiplica o quadrado é -2, um número negativo.

Passo 2

Entender o que significa a forma 3-2(x+1)^{2}. Vamos analisar peça por peça:
  • Para qualquer número real t vale t^{2}\ge 0. Aqui t=(x+1), portanto (x+1)^{2}\ge 0 para todo x.
  • Multiplicando por -2 temos -2(x+1)^{2}\le 0 para todo x (porque multiplicar por número negativo inverte a desigualdade).
  • Somando 3 a isso, obtemos que g(x)=3-2(x+1)^{2}\le 3 para todo x. Ou seja, 3 é um limite superior imediato para os valores de g.
Isso já sugere que g(x) nunca ultrapassa 3; pode atingir 3 em algum ponto e assume valores menores.

Passo 3

Determinar se 3 é realmente atingido e onde. Como (x+1)^{2}\ge 0, o menor valor possível de (x+1)^{2} é 0, e isso acontece exatamente quando x+1=0, ou seja, quando x=-1. Substituindo,
g(-1)=3-2(0)=3.
Logo g(x) atinge o valor 3 em x=-1. Como vimos antes g(x)\le 3 para todo x, concluímos que 3 é o valor máximo da função.

Passo 4

Mostrar que valores arbitrariamente negativos são obtidos (ou seja, não existe mínimo finito). Observe que quando |x| cresce, (x+1)^{2}\to\infty, então -2(x+1)^{2}\to -\infty e consequentemente
g(x)=3-2(x+1)^{2}\to -\infty\quad\text{quando }x\to\pm\infty.
Isto significa que g(x) não tem limite inferior finito: para qualquer número M negativo grande, existe x tal que g(x)<M. Portanto a imagem não está limitada por baixo.

Passo 5

Provar que todo valor y com y\le 3 é realmente assumido por g (ou seja, provar que o conjunto de valores é exatamente (-\infty,3]). Tomemos um y com y\le 3 e resolvamos a equação g(x)=y:
3-2(x+1)^{2}=y.
Isolando o quadrado,
(x+1)^{2}=\frac{3-y}{2}.
Como y\le 3, o lado direito \dfrac{3-y}{2} é um número \ge 0, portanto admite raiz quadrada real. Assim existem soluções reais
x+1=\pm\sqrt{\frac{3-y}{2}}\quad\Rightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{\frac{3-y}{2}}.
Portanto, para todo y\le 3 existe pelo menos um x\in\mathbb{R} com g(x)=y. Juntando com o que vimos antes (nenhum y>3 é possível), concluímos que a imagem de g é exatamente o conjunto de todos os reais menores ou iguais a 3.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
  • x=-1 g(-1)=3 (valor máximo).
  • x=0 g(0)=3-2(1)=1.
  • x=2 g(2)=3-2(9)=3-18=-15, mostrando que valores muito negativos ocorrem.

Resposta

(- \infty,\,3]

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