Esboce o gráfico de
f(x)=|x-2|-3
Determine domínio, imagem, zeros, intercepto no eixo y e intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=|x-2|-3.
As tarefas pedidas são:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto-resultado) de f.
  • Determinar os zeros de f (interseções com o eixo x).
  • Determinar o intercepto no eixo y (valor de f(0)).
  • Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.

Passo 2

Entendendo a expressão com valor absoluto. Lembre que, para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u \ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u < 0. \end{cases}
Aqui u=x-2\]. Portanto a função \(f é uma transformação da função |x|: é |x| deslocada 2 unidades para a direita (porque aparece x-2) e depois deslocada 3 unidades para baixo (por causa do -3). Isso já dá a ideia de um “V” com vértice em (2,-3). Vamos fazer isso com contas para ficar certinho.]

Passo 3

Escrever f\) de forma piecewise (por partes) usando a definição do valor absoluto. Para \(x\ge 2\) temos \(x-2\ge0\) e então \(|x-2|=x-2\). Para \(x<2\) temos \(|x-2|=-(x-2)=2-x\). Assim: \[f(x)=|x-2|-3=\begin{cases} (2-x)-3, & x<2,\\[4pt] (x-2)-3, & x\ge2. \end{cases}
Simplificando cada ramo:
f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<2,\\[4pt] x-5, & x\ge2. \end{cases}
Expliquei passo a passo porque isso é essencial para desenhar: para x<2\] a função é uma reta de coeficiente angular (inclinação) \(-1; para x\ge2 é uma reta de inclinação +1. O ponto onde trocam os ramos é x=2 (o vértice do “V”).]

Passo 4

Determinar o domínio. A função valor absoluto está definida para todo x\in\mathbb{R}, logo
\text{Domínio}=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).í
Explicação breve: não há divisão por zero, logaritmo, raiz par, nem nada que restrinja x; qualquer real vale.

Passo 5

Encontrar o vértice e o valor mínimo (isso ajuda a imagem). Avaliando em x=2:
f(2)=|2-2|-3=0-3=-3.
Como a forma é um “V” e as retas têm inclinações -1 (à esquerda) e +1 (à direita), f(2)=-3 é o valor mínimo da função. Portanto a imagem (o conjunto de valores assumidos por f) é
\text{Imagem}=[-3,\infty).
Justificativa: o mínimo é -3 e para x muito grande positivo ou negativo f(x)\to\infty.

Passo 6

Calcular os zeros (soluções de f(x)=0). Igualando a zero:
|x-2|-3=0 \quad\Longrightarrow\quad |x-2|=3.
Resolver |x-2|=3 dá duas soluções:
x-2=3 \Rightarrow x=5, \qquad x-2=-3 \Rightarrow x=-1.
Portanto os zeros (interseções com o eixo x) são (-1,0) e (5,0).

Passo 7

Calcular o intercepto no eixo y (valor em x=0):
f(0)=|0-2|-3=|{-2}|-3=2-3=-1.
Logo o intercepto no eixo y é o ponto (0,-1).

Passo 8

Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando as inclinações das retas nos ramos. Da forma piecewise:
  • Para x<2: f(x)=-x-1 tem coeficiente angular -1, então f é decrescente em (-\infty,2).
  • Para x>2: f(x)=x-5 tem coeficiente angular +1, então f é crescente em (2,\infty).
    No ponto x=2 há o mínimo (vértice); não dizemos que é crescente nem decrescente exatamente em x=2, é o ponto de troca.

Passo 9

Tabela de pontos úteis para esboçar (ajuda prática):
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline -1 & 0\\\\ 0 & -1\\\\ 1 & -2\\\\ 2 & -3\\\\ 3 & -2\\\\ 5 & 0 \end{array}
Como esboçar: marque o vértice (2,-3), marque os zeros (-1,0) e (5,0) e o intercepto (0,-1). Trace a reta passando por esses pontos à esquerda do vértice com inclinação -1 e à direita com inclinação +1. O gráfico é o clássico “V” deslocado.

Passo 10

Observações finais (úteis na prova):
  • f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Tem mínimo global em x=2 de valor -3.
  • Não há máximos finitos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [ -3,\infty )
Zeros: x=-1 e x=5
Intercepto no eixo y: f(0)=-1 (ponto (0,-1))
Intervalo de decrescimento: (-\infty,2)
Intervalo de crescimento: (2,\infty)

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