Esboce o gráfico de
Determine domínio, imagem, zeros, intercepto no eixo
e intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
As tarefas pedidas são:
- Esboçar o gráfico de
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto-resultado) de
. - Determinar os zeros de
(interseções com o eixo ). - Determinar o intercepto no eixo
(valor de ). - Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
Passo 2
Entendendo a expressão com valor absoluto. Lembre que, para qualquer expressão
Aqui
é uma transformação da função
: é
deslocada 2 unidades para a direita (porque aparece
) e depois deslocada 3 unidades para baixo (por causa do
). Isso já dá a ideia de um “V” com vértice em
. Vamos fazer isso com contas para ficar certinho.]
Passo 3
Escrever
Simplificando cada ramo:
Expliquei passo a passo porque isso é essencial para desenhar: para
; para
é uma reta de inclinação
. O ponto onde trocam os ramos é
(o vértice do “V”).]
Passo 4
Determinar o domínio. A função valor absoluto está definida para todo
, logo
Explicação breve: não há divisão por zero, logaritmo, raiz par, nem nada que restrinja
; qualquer real vale.
Passo 5
Encontrar o vértice e o valor mínimo (isso ajuda a imagem). Avaliando em
:
Como a forma é um “V” e as retas têm inclinações
(à esquerda) e
(à direita),
é o valor mínimo da função. Portanto a imagem (o conjunto de valores assumidos por
) é
Justificativa: o mínimo é
e para
muito grande positivo ou negativo
.
Passo 6
Calcular os zeros (soluções de
). Igualando a zero:
Resolver
dá duas soluções:
Portanto os zeros (interseções com o eixo
) são
e
.
Passo 7
Calcular o intercepto no eixo
(valor em
):
Logo o intercepto no eixo
é o ponto
.
Passo 8
Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando as inclinações das retas nos ramos. Da forma piecewise:
- Para
: tem coeficiente angular , então é decrescente em . - Para
: tem coeficiente angular , então é crescente em .
No pontohá o mínimo (vértice); não dizemos que é crescente nem decrescente exatamente em , é o ponto de troca.
Passo 9
Tabela de pontos úteis para esboçar (ajuda prática):
Como esboçar: marque o vértice
, marque os zeros
e
e o intercepto
. Trace a reta passando por esses pontos à esquerda do vértice com inclinação
e à direita com inclinação
. O gráfico é o clássico “V” deslocado.
Passo 10
Observações finais (úteis na prova):
-
é contínua em todo . - Tem mínimo global em
de valor . - Não há máximos finitos.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Zeros:
e
Intercepto no eixo
:
(ponto
)
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de crescimento: