Determine a imagem do triângulo com vértices 0,1 e i sob a transformação w=f(z) e represente a transformação através de uma sequência de gráficos.
f(z)=z+2 i

Passo 1

O enunciado dá a transformação e o triângulo inicial e pede a imagem desse triângulo sob a transformação e que a representação seja feita por uma sequência de gráficos. Informação dada:
  • A transformação é f(z)=z+2i.
  • O triângulo inicial tem vértices em 0, 1 e i.
    O que se pede:
  • Determinar a imagem do triângulo com vértices \,0,\,1,\,i\, pela transformação f.
  • Representar a transformação através de uma sequência de gráficos (ou seja, descrever passo a passo como o triângulo é levado ao seu lugar na imagem).

Passo 2

Entendendo a transformação f(z)=z+2i. Vou explicar de forma clara o que significa somar uma constante complexa:
  • Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, temos
f(z)=z+2i = x+iy+2i = x+i(y+2).
  • Isso significa que a parte real permanece x e a parte imaginária passa de y para y+2. Em termos geométricos no plano complexo (plano de Argand), adicionar \,2i\, desloca todo ponto verticalmente para cima em 2 unidades. Chamamos isso de uma translação vertical de vetor \,0+2i\,.
  • Propriedades importantes dessa operação: translação preserva distâncias, ângulos e orientações. Ou seja, o triângulo muda apenas de posição, mantendo forma e tamanho.

Passo 3

Aplicando a transformação aos vértices um a um (conta direta):
  • Para z=0:
f(0)=0+2i=2i.
  • Para z=1:
f(1)=1+2i.
  • Para z=i:
f(i)=i+2i=3i.
Portanto, os vértices do triângulo imagem são \,2i,\;1+2i,\;3i\,.

Passo 4

Verificação geométrica lado a lado (como saber que os segmentos se deslocam corretamente):
  • O segmento entre 0 e 1 pode ser parametrizado por \,z(t)=t para t\in[0,1]. Sua imagem é
w(t)=f(z(t))=t+2i,
que é exatamente o segmento entre 2i (quando t=0) e 1+2i (quando t=1).
  • O segmento entre 0 e i tem parametrização \,z(t)=it para t\in[0,1]. Sua imagem é
w(t)=it+2i=(t+2)i,
segmento entre 2i e 3i.
  • O segmento entre 1 e i tem parametrização \,z(t)=1+(i-1)t para t\in[0,1]. Sua imagem é
w(t)=1+(i-1)t+2i = (1+2i)+(i-1)t,
segmento entre 1+2i e 3i.
Esses cálculos confirmam que cada lado do triângulo é simplesmente transladado pelo mesmo vetor \,2i\,.

Passo 5

Checando comprimentos e orientação (para você ter confiança na resposta):
  • Comprimentos originais:
|1-0|=1,\qquad |i-0|=1,\qquad |1-i|=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Comprimentos das imagens:
| (1+2i)-2i | = |1| = 1,\qquad | 3i-2i | = |i| = 1,\qquad | (1+2i)-3i| = |1-i|=\sqrt{2}.
Portanto os comprimentos permanecem iguais: a translação não altera tamanho nem forma. A orientação (sentido de percurso dos vértices) também é preservada.

Passo 6

Como representar isso por uma sequência de gráficos (instrução passo a passo para desenhar):
  1. Primeiro gráfico (posição inicial):
    • Desenhe o plano com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
    • Marque e una os pontos \,0=(0,0), \,1=(1,0) e \,i=(0,1) formando o triângulo inicial. Rotule-os como 0, 1, i.
  2. Segundo gráfico (vetor de translação):
    • A partir da origem desenhe o vetor \,2i (uma seta vertical apontando para cima com comprimento 2) e rotule-o \,2i.
    • Isso mostra visualmente o deslocamento que será aplicado a todos os pontos.
  3. Terceiro gráfico (triângulo imagem):
    • Translade cada vértice do primeiro gráfico subindo duas unidades: desenhe os pontos \,2i=(0,2), \,1+2i=(1,2) e \,3i=(0,3).
    • Una esses pontos para formar o triângulo imagem; rotule-os.
    • Opcionalmente, trace linhas pontilhadas conectando cada vértice original ao vértice correspondente na imagem (por exemplo, de 0 para 2i, de 1 para 1+2i, de i para 3i) para evidenciar a translação.
      Essas três figuras (original, vetor deslocamento, imagem) são a sequência pedida que ilustra claramente a transformação.

Passo 7

Resumo final e incentivo:
  • Concluímos que f(z)=z+2i é uma translação vertical para cima de 2 unidades. O triângulo apenas sobe sem alterar forma nem tamanho.
  • Você pode desenhar isso rapidamente no caderno seguindo os três passos gráficos acima: o triângulo inicial, o vetor \,2i, e o triângulo final na nova posição. Vai dar certo — tá ficando bom!

Resposta

Triângulo imagem com vértices \;2i,\;1+2i,\;3i.

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