Determine a imagem do triângulo com vértices 0,1 e i sob a transformação
e represente a transformação através de uma sequência de gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a transformação e o triângulo inicial e pede a imagem desse triângulo sob a transformação e que a representação seja feita por uma sequência de gráficos. Informação dada:
- A transformação é
. - O triângulo inicial tem vértices em
, e .
O que se pede: - Determinar a imagem do triângulo com vértices
pela transformação . - Representar a transformação através de uma sequência de gráficos (ou seja, descrever passo a passo como o triângulo é levado ao seu lugar na imagem).
Passo 2
Entendendo a transformação
. Vou explicar de forma clara o que significa somar uma constante complexa:
- Escrevendo
com , temos
- Isso significa que a parte real permanece
e a parte imaginária passa de para . Em termos geométricos no plano complexo (plano de Argand), adicionar desloca todo ponto verticalmente para cima em unidades. Chamamos isso de uma translação vertical de vetor . - Propriedades importantes dessa operação: translação preserva distâncias, ângulos e orientações. Ou seja, o triângulo muda apenas de posição, mantendo forma e tamanho.
Passo 3
Aplicando a transformação aos vértices um a um (conta direta):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os vértices do triângulo imagem são
.
Passo 4
Verificação geométrica lado a lado (como saber que os segmentos se deslocam corretamente):
- O segmento entre
e pode ser parametrizado por para . Sua imagem é
que é exatamente o segmento entre
(quando
) e
(quando
).
- O segmento entre
e tem parametrização para . Sua imagem é
segmento entre
e
.
- O segmento entre
e tem parametrização para . Sua imagem é
segmento entre
e
.
Esses cálculos confirmam que cada lado do triângulo é simplesmente transladado pelo mesmo vetor .
Esses cálculos confirmam que cada lado do triângulo é simplesmente transladado pelo mesmo vetor
Passo 5
Checando comprimentos e orientação (para você ter confiança na resposta):
- Comprimentos originais:
- Comprimentos das imagens:
Portanto os comprimentos permanecem iguais: a translação não altera tamanho nem forma. A orientação (sentido de percurso dos vértices) também é preservada.
Passo 6
Como representar isso por uma sequência de gráficos (instrução passo a passo para desenhar):
- Primeiro gráfico (posição inicial):
- Desenhe o plano com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
- Marque e una os pontos
, e formando o triângulo inicial. Rotule-os como , , .
- Segundo gráfico (vetor de translação):
- A partir da origem desenhe o vetor
(uma seta vertical apontando para cima com comprimento ) e rotule-o . - Isso mostra visualmente o deslocamento que será aplicado a todos os pontos.
- A partir da origem desenhe o vetor
- Terceiro gráfico (triângulo imagem):
- Translade cada vértice do primeiro gráfico subindo duas unidades: desenhe os pontos
, e . - Una esses pontos para formar o triângulo imagem; rotule-os.
- Opcionalmente, trace linhas pontilhadas conectando cada vértice original ao vértice correspondente na imagem (por exemplo, de
para , de para , de para ) para evidenciar a translação.
Essas três figuras (original, vetor deslocamento, imagem) são a sequência pedida que ilustra claramente a transformação.
- Translade cada vértice do primeiro gráfico subindo duas unidades: desenhe os pontos
Passo 7
Resumo final e incentivo:
- Concluímos que
é uma translação vertical para cima de unidades. O triângulo apenas sobe sem alterar forma nem tamanho. - Você pode desenhar isso rapidamente no caderno seguindo os três passos gráficos acima: o triângulo inicial, o vetor
, e o triângulo final na nova posição. Vai dar certo — tá ficando bom!
Resposta
Triângulo imagem com vértices
.