Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{i v}-4 y^{\prime \prime}+16 y^{\prime}+32 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea linear de ordem quatro
y^{iv}-4y^{\prime\prime}+16y^{\prime}+32y=0,
onde as derivadas são em relação à variável independente (vou chamar de x). O que nos pedem é encontrar a solução geral y(x) dessa equação, i.e., todas as soluções expressas com constantes arbitrárias. Informações relevantes fornecidas: coeficientes constantes, equação homogênea de ordem 4.

Passo 2

Método: tentamos soluções do tipo y=e^{rx}. Explico por que: para equações lineares com coeficientes constantes, derivar e^{rx} só multiplica por r, então cada derivada gera um fator de r e a equação se transforma numa equação algébrica para r (chamada equação característica). Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^4 e^{rx}-4 r^2 e^{rx}+16 r e^{rx}+32 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^4-4r^2+16r+32=0.

Passo 3

Procuramos raízes desse polinômio. Testando r=-2 (tentativa razoável entre divisores de 32),
(-2)^4-4(-2)^2+16(-2)+32=16-16-32+32=0,
portanto r=-2 é raiz. Isso significa que (r+2) é fator do polinômio.

Passo 4

Dividimos o polinômio por (r+2). Escrevendo os coeficientes do polinômio original 1\;0\;-4\;16\;32 (para r^4,r^3,r^2,r,\,constante) e aplicando divisão sintética com raiz -2:
Trazer 1. Multiplicar por -2 -2. Somar ao coeficiente seguinte 0 -2. Multiplicar por -2 4. Somar a -4 0. Multiplicar por -2 0. Somar a 16 16. Multiplicar por -2 -32. Somar a 32 0.
O quociente é r^3-2r^2+0\cdot r+16, ou simplesmente
r^3-2r^2+16.
Assim o polinômio original fatorou como
(r+2)(r^3-2r^2+16)=0.

Passo 5

Vemos que r=-2 é também raiz do cúbico r^3-2r^2+16? Testando r=-2:
(-2)^3-2(-2)^2+16=-8-8+16=0.
Portanto r=-2 novamente é raiz, ou seja r=-2 tem multiplicidade pelo menos 2. Dividindo o cúbico por (r+2) (novamente divisão sintética com -2) usando coeficientes 1\;-2\;0\;16:
Trazer 1. Multiplicar por -2 -2. Somar a -2 -4. Multiplicar por -2 8. Somar a 0 8. Multiplicar por -2 -16. Somar a 16 0.
O resultado é o quadrático
r^2-4r+8.
Portanto a fatoração completa da equação característica é
(r+2)^2(r^2-4r+8)=0.

Passo 6

Agora resolvemos o quadrático r^2-4r+8=0. Calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot8 = 16-32 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática,
r = \frac{4\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{4\pm 4i}{2}=2\pm 2i.
Portanto as raízes da equação característica são: r_1=-2 (multiplicidade 2), r_2=2+2i, r_3=2-2i.
Explicação curta sobre o que cada tipo de raiz gera na solução:
  • Uma raiz real simples r gera a solução e^{rx}.
  • Uma raiz real de multiplicidade m gera as soluções independentes e^{rx},\, x e^{rx},\, x^2 e^{rx},\dots, x^{m-1} e^{rx}.
  • Um par de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta gera duas soluções reais independentes e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Isso vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)x} e usar a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 7

Aplicando essas regras ao nosso caso:
  • Para r=-2 com multiplicidade 2 obtemos as duas soluções linearly independentes
e^{-2x},\qquad x e^{-2x}.
  • Para r=2\pm 2i (ou seja \alpha=2,\\ \beta=2) obtemos as duas soluções reais
e^{2x}\cos(2x),\qquad e^{2x}\sin(2x).
Como a equação é de ordem 4, precisamos de quatro constantes independentes; as quatro soluções acima são independentes e formam uma base do espaço de soluções.

Passo 8

A solução geral é combinação linear dessas quatro soluções. Assim, com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R},
y(x)=C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + e^{2x}\bigl(C_3\cos(2x)+C_4\sin(2x)\bigr).
Dica prática para prova: ao ver um polinômio característico, sempre tente raízes inteiras pequenas (±1,±2,±4,±8, etc.) — isso frequentemente simplifica a fatoração. Quando aparecer um quadrático com discriminante negativo, escreva a parte exponencial e^{\alpha x} multiplicando combinações de cos e sin com \beta.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x}+e^{2x}\bigl(C_{3}\cos(2x)+C_{4}\sin(2x)\bigr)

Exercícios relacionados