Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea linear de ordem quatro
onde as derivadas são em relação à variável independente (vou chamar de
). O que nos pedem é encontrar a solução geral
dessa equação, i.e., todas as soluções expressas com constantes arbitrárias. Informações relevantes fornecidas: coeficientes constantes, equação homogênea de ordem
.
Passo 2
Método: tentamos soluções do tipo
. Explico por que: para equações lineares com coeficientes constantes, derivar
só multiplica por
, então cada derivada gera um fator de
e a equação se transforma numa equação algébrica para
(chamada equação característica). Substituindo
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 3
Procuramos raízes desse polinômio. Testando
(tentativa razoável entre divisores de
),
portanto
é raiz. Isso significa que
é fator do polinômio.
Passo 4
Dividimos o polinômio por
. Escrevendo os coeficientes do polinômio original
(para
constante) e aplicando divisão sintética com raiz
:
Trazer
. Multiplicar por
dá
. Somar ao coeficiente seguinte
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
.
O quociente é
, ou simplesmente
Assim o polinômio original fatorou como
Passo 5
Vemos que
é também raiz do cúbico
? Testando
:
Portanto
novamente é raiz, ou seja
tem multiplicidade pelo menos
. Dividindo o cúbico por
(novamente divisão sintética com
) usando coeficientes
:
Trazer
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
.
O resultado é o quadrático
Portanto a fatoração completa da equação característica é
Passo 6
Agora resolvemos o quadrático
. Calculamos o discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática,
Portanto as raízes da equação característica são:
(multiplicidade 2),
,
.
Explicação curta sobre o que cada tipo de raiz gera na solução:
- Uma raiz real simples
gera a solução . - Uma raiz real de multiplicidade
gera as soluções independentes . - Um par de raízes complexas conjugadas
gera duas soluções reais independentes e . Isso vem de escrever e usar a fórmula de Euler .
Passo 7
Aplicando essas regras ao nosso caso:
- Para
com multiplicidade obtemos as duas soluções linearly independentes
- Para
(ou seja ) obtemos as duas soluções reais
Como a equação é de ordem
, precisamos de quatro constantes independentes; as quatro soluções acima são independentes e formam uma base do espaço de soluções.
Passo 8
A solução geral é combinação linear dessas quatro soluções. Assim, com constantes arbitrárias
,
Dica prática para prova: ao ver um polinômio característico, sempre tente raízes inteiras pequenas (±1,±2,±4,±8, etc.) — isso frequentemente simplifica a fatoração. Quando aparecer um quadrático com discriminante negativo, escreva a parte exponencial
multiplicando combinações de cos e sin com
.