Determine a impedância total em um circuito série com R = 15 Ω, XL = 20 \Omega e XC = 5 \Omega.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a impedância total de um circuito série onde foram dadas as seguintes informações:
  • Resistência: R=15\\ \Omega.
  • Reatância indutiva: X_L=20\\ \Omega.
  • Reatância capacitiva: X_C=5\\ \Omega.
A tarefa é calcular a impedância equivalente Z do circuito série formado por R, X_L e X_C.

Passo 2

O que é impedância e como tratá-la aqui (explicação didática e passo a passo).
  • Em circuitos AC, a impedância é a “resistência complexa” que combina resistência e reatância. Usa-se um número complexo para representar isso.
  • Notação: a impedância total em geral é escrita em forma retangular como
Z = R + jX,
onde:
  • R é a parte real (resistência, em \Omega),
  • X é a parte imaginária (reatância líquida, em \Omega),
  • j é a unidade imaginária, com j^2=-1. (Em engenharia elétrica usa-se j no lugar de i.)
  • Reatâncias individuais:
    • reatância indutiva aparece como +jX_L (ou seja, contribui positivamente para X),
    • reatância capacitiva aparece como -jX_C (ou seja, contribui negativamente para X), porque o capacitor fornece uma reatância de sinal oposto ao do indutor.
  • Logo, a reatância líquida X no caso série é
X = X_L - X_C.
Esse é um passo conceitual importante: somam-se as partes imaginárias levando em conta o sinal da reatância capacitiva.

Passo 3

Calcular a reatância líquida usando os valores dados:
X = X_L - X_C = 20 - 5 = 15\\ \Omega.

Passo 4

Escrever a impedância total na forma retangular (parte real + j vezes parte imaginária):
Z = R + jX = 15 + j15\\ \Omega.
Explicação: o primeiro termo 15 é a resistência real; o segundo termo j15 é a reatância líquida (indutiva) positiva.

Passo 5

Converter para magnitude (módulo) — forma polar: para um número complexo Z = R + jX, o módulo |Z| é dado por
|Z| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}.
Aplicando:
|Z| = \sqrt{15^{2} + 15^{2}} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}\approx 21,213\\ \Omega.
Breve explicação: isso é o “tamanho” da impedância, útil para calcular amplitude da corrente se a tensão for conhecida.

Passo 6

Calcular o ângulo de fase \varphi (argumento da impedância). Para Z = R + jX,
\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{X}{R}\right).
Aqui X/R = 15/15 = 1, então
\varphi = \arctan(1) = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Interpretação física curta e amistosa: como o ângulo é positivo, a tensão está adiantada em relação à corrente — ou, dito do jeito que os livros gostam, a corrente atrasa (lags) em relação à tensão por 45^\circ, porque o circuito tem reatância indutiva líquida.

Passo 7

Expressar a impedância na forma polar (magnitude e ângulo):
Z = 15\sqrt{2}\angle 45^\circ\\ \Omega \approx 21,213\angle 45^\circ\\ \Omega.
Assim tem-se tanto a forma retangular (útil para somas) quanto a forma polar (útil para multiplicar/dividir por fasores e para entender o deslocamento de fase).

Resposta

Z = 15 + j15\\ \Omega
Z = 15\sqrt{2}\angle 45^\circ\\ \Omega \approx 21,213\angle 45^\circ\\ \Omega

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