Determine a(a in R) de modo que o número z=1+2 i2+a i seja real.

Passo 1

Vamos resolver o problema onde precisamos encontrar o valor de (sendo um número real) para que o número complexo seja um número real. Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e operações com eles, como a divisão de números complexos e a condição para que uma expressão complexa seja real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo é da forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para que seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero.

Passo 3

Para dividir dois números complexos, como , vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 4

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado:
z = 1 + 2i2 + ai times 2 - ai2 - ai = (1 + 2i)(2 - ai)(2 + ai)(2 - ai)

Passo 5

Vamos expandir o numerador e o denominador:
(1 + 2i)(2 - ai) = 1 times 2 + 1 times (-ai) + 2i times 2 + 2i times (-ai) = 2 - ai + 4i - 2ai^2
(2 + ai)(2 - ai) = 2 times 2 + 2 times (-ai) + ai times 2 + ai times (-ai) = 4 - 2ai + 2ai - a^2i^2

Passo 6

Simplificando as expressões:
Como 2 - ai + 4i - 2a(-1) = 2 - ai + 4i + 2a = (2 + 2a) + (4 - a)i ,
4 - 2ai + 2ai - a^2(-1) = 4 + a^2
z = (2 + 2a) + (4 - a)i4 + a^2
Então,

Passo 7

Para 4 - a4 + a^2 = 0 ser real, a parte imaginária deve ser zero. A parte imaginária de é . Então, temos:

Passo 8

Resolvendo a equação 4 - a = 0 implies a = 4 :
O numerador deve ser zero:
O denominador nunca é zero para real, então a única solução é .

Resposta

O valor de que torna um número real é .

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