Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
com
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
y′(x)=\frac{x²y(x)−y(x)}{y(x)−1}
com y(3)=1. Isso é uma equação separável, pois dá pra escrever algo como f(y) dy = g(x) dx e integrar.
y′(x)=\frac{x²y(x)−y(x)}{y(x)−1}
com y(3)=1. Isso é uma equação separável, pois dá pra escrever algo como f(y) dy = g(x) dx e integrar.
Passo 2
Reescrevendo a derivada e separando variáveis temos
Então
Aqui usamos que
invertido fica
no lado de
e o resto em
.
Passo 3
Agora integramos dos dois lados:
No lado esquerdo a primitiva de
é
e de
é
. No direito é
. Então obtemos
Passo 4
Para achar a constante
, aplicamos a condição inicial
. No lado esquerdo:
No direito:
Igualando dá
, ou seja
.
Resposta
A solução implícita satisfaz