Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime(x)=x^2 y(x)-y(x)y(x)-1, com y(3)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y′(x)=\frac{x²y(x)−y(x)}{y(x)−1}
com y(3)=1. Isso é uma equação separável, pois dá pra escrever algo como f(y) dy = g(x) dx e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a derivada e separando variáveis temos
y = dydx = y(x)(x²−1)y(x)−1 ²
Então
y−1y,dy = (x²−1),dx ²
Aqui usamos que y(x)(x²−1)y(x)−1² invertido fica y−1y no lado de dy e o resto em dx.

Passo 3

Agora integramos dos dois lados:
integral l(1 - 1yr),dy = integral (x² - 1),dx ²
No lado esquerdo a primitiva de 1 é y e de 1/y é ln|y|. No direito é x³/3 - x³. Então obtemos
y - ln|y| = x³3 - x + C ³

Passo 4

Para achar a constante C, aplicamos a condição inicial y(3)=1. No lado esquerdo:
1 - ln|1| = 1 - 0 = 1
No direito:
3³3 - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C ³
Igualando dá 1 = 6 + C, ou seja C = -5.

Resposta

A solução implícita satisfaz
y - ln|y| = x^33 - x - 5

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