Determine o valor de r de modo que y(x)=e^r x seja solução da EDO
y^prime prime prime(x)-3 y^prime prime(x)+2 y^prime(x)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
y'''(x) - 3 y''(x) + 2 y'(x) = 0
Queremos determinar o valor de $ r $ para que a função $ y(x) = e^{r x} $ seja uma solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e usar o método de tentativa de solução exponencial.

Passo 2

Vamos começar substituindo a função $ y(x) = e^{r x} $ e suas derivadas na equação diferencial dada. Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(x) $:
y(x) = e^r x
y(x)
y(x) = e^r x
y'(x) = r e^r x

Passo 3

Agora, substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $, $ y’’(x) $ e $ y’’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)
Substituindo:
y'(x)

Passo 4

Podemos fatorar $ e^{r x} $ da equação:
e^r x
Como $ e^{r x} $ nunca é zero para qualquer valor de $ r $, podemos dividir ambos os lados por $ e^{r x} $:
e^r x (r^3 - 3 r^2 + 2 r) = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação polinomial para resolver:
r^3 - 3 r^2 + 2 r = 0
Podemos fatorar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ r $:
r

Passo 6

Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático:
r^2 - 3 r + 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os valores de $ r $ que satisfazem:
r
Portanto, as soluções são:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Além disso, temos a solução $ r = 0 $ do fator inicial.

Resposta

Os valores de $ r $ que tornam $ y(x) = e^{r x} $ uma solução da EDO dada são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $.

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