Determine o valor de
de modo que
seja solução da EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
Queremos determinar o valor de $ r $ para que a função $ y(x) = e^{r x} $ seja uma solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e usar o método de tentativa de solução exponencial.
Passo 2
Vamos começar substituindo a função $ y(x) = e^{r x} $ e suas derivadas na equação diferencial dada. Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(x) $:
Passo 3
Agora, substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $, $ y’’(x) $ e $ y’’’(x) $ na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 4
Podemos fatorar $ e^{r x} $ da equação:
Como $ e^{r x} $ nunca é zero para qualquer valor de $ r $, podemos dividir ambos os lados por $ e^{r x} $:
Passo 5
Agora, temos uma equação polinomial para resolver:
Podemos fatorar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ r $:
Passo 6
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os valores de $ r $ que satisfazem:
Portanto, as soluções são:
Além disso, temos a solução $ r = 0 $ do fator inicial.
Resposta
Os valores de $ r $ que tornam $ y(x) = e^{r x} $ uma solução da EDO dada são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $.