Determine a inclinação e a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)= 2 x^2-3 x+4 no ponto (2,6).

Passo 1

A gente tem a função f(x)=2x^2-3x+4 e o ponto dado (2,6). O que precisamos é da inclinação da reta tangente nesse ponto, e depois montar a equação da reta usando a fórmula ponto-declive. O conteúdo aqui é derivada de função polinomial e reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a inclinação da reta tangente, calculamos a derivada de f(x). Como f(x)=2x^2-3x+4 é polinômio, aplicamos a regra de potência em cada termo:
f'(x)=ddx(2x^2)-ddx(3x)+ddx(4)=4x-3

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=2 para achar a inclinação m=f'(2):
f'(2)=4cdot2-3=8-3=5
Então a inclinação da reta tangente é m=5.

Passo 4

Com a inclinação m=5 e o ponto (x0,y0)=(2,6), usamos a fórmula ponto-declive
y-y0=m(x-x0)
Substituindo, temos
y-6=5(x-2)
e, ao simplificar,
y=5x-10+6
y=5x-4

Resposta

A inclinação da reta tangente é 5 e sua equação é y=5x-4.

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