Determine os índices de Miller de um plano de um cristal cúbico, que passa pelos pontos com as seguintes coordenadas: (1,0,0) ;(1,1 / 2,1 / 4) ;(1 / 2,1 / 2,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os índices de Miller de um plano em rede cúbica que passa pelos pontos (1,0,0), (1,\tfrac12,\tfrac14) e (\tfrac12,\tfrac12,0). Em cristalografia cúbica, os índices de Miller (hkl) são os recíprocos dos interceptos do plano com os eixos cristalográficos x, y, z, multiplicados por um fator comum para ficarem inteiros sem divisores comuns. Para isso, vamos determinar as interceptações a, b, c do plano com os eixos e então calcular (h,k,l)=(1/a,\,1/b,\,1/c).

Passo 2

Escrevemos a equação do plano em forma de interceptos:
\frac{x}{a} \;+\;\frac{y}{b}\;+\;\frac{z}{c}\;=\;1.
Substituiremos os três pontos dados para obter a, b e c.

Passo 3

Usando o ponto (1,0,0), obtemos
\frac{1}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{a} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.

Passo 4

Usando o ponto \bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr), temos
\frac{\tfrac12}{a} + \frac{\tfrac12}{b} + \frac{0}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\cdot 1} + \frac{1}{2b} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac12 + \frac{1}{2b} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2b} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad b = 1.

Passo 5

Usando o ponto \bigl(1,\tfrac12,\tfrac14\bigr), obtemos
\frac{1}{a} + \frac{\tfrac12}{b} + \frac{\tfrac14}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{1}{2\cdot 1} + \frac{1}{4c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \tfrac12 + \frac{1}{4c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4c} = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{c} = -2 \quad\Longrightarrow\quad c = -\tfrac12.

Passo 6

Agora temos os interceptos
a = 1,\quad b = 1,\quad c = -\tfrac12.
Os índices de Miller são os recíprocos destes valores:
(h,k,l) = \Bigl(\tfrac{1}{a},\,\tfrac{1}{b},\,\tfrac{1}{c}\Bigr) = (1,\,1,\,-2).

Resposta

(1\,1\,\overline{2}) ou simplesmente (1\,1\,-2).

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