Estude as convergências das sequências
:
Passo 1
A questão pede para estudar a convergência da sequência
. O conteúdo principal envolve limites de sequências reais e podemos usar tanto o teste da razão quanto a regra de L’Hôpital para chegar ao resultado.
Passo 2
Note que para todo
, temos
e
. Logo,
. Isso nos garante que a sequência é limitada inferiormente por zero.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão. Calculamos
Passo 4
Como para todo
,
, temos
Passo 5
portanto
para todo
, ou seja, a sequência é monótona decrescente e, por ser limitada inferiormente, é convergente.
Passo 6
Para encontrar o limite, considere a função real
e use a regra de L’Hôpital no limite
. Como tanto o numerador quanto o denominador crescem, temos
Passo 7
Daí conclui-se que
.
Resposta
A sequência converge para 0.