Estude as convergências das sequências (an) :
ne^n

Passo 1

A questão pede para estudar a convergência da sequência an = tfracne^n. O conteúdo principal envolve limites de sequências reais e podemos usar tanto o teste da razão quanto a regra de L’Hôpital para chegar ao resultado.

Passo 2

Note que para todo ninN, temos n>0 e e^n>0. Logo, an>0. Isso nos garante que a sequência é limitada inferiormente por zero.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão. Calculamos
an+1an = tfracn+1e^n+1tfracne^n = n+1n cdot e^ne^n+1 = n+1n cdot 1e = 1 + tfrac1ne

Passo 4

Como para todo n>=1, 1 + tfrac1n <= 2, temos
an+1an <= 2e < 1,

Passo 5

portanto an+1 < an para todo n, ou seja, a sequência é monótona decrescente e, por ser limitada inferiormente, é convergente.

Passo 6

Para encontrar o limite, considere a função real f(x)=tfracxe^x e use a regra de L’Hôpital no limite xto+infty. Como tanto o numerador quanto o denominador crescem, temos
limxto+infty xe^x = limxto+infty 1e^x = 0

Passo 7

Daí conclui-se que limntoinfty an = 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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