I. Nos exercícios a seguir, calcule as integrais escalares de superfície.
, onde
é a fronteira do sólido determinado por
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a fronteira do sólido dentro da esfera
e acima do cone
. O conteúdo é integral de superfície; vamos separar
em duas partes: o cap esférico (onde
,
) e o lado cônico (onde
dentro da esfera).
Passo 2
Para o cap esférico, usamos coordenadas esféricas
com
,
medido a partir do eixo
variando de
a
(pois o cone corresponde a
), e
de
a
. Nesse caso temos
Passo 3
Logo a integral sobre o cap esférico fica
Passo 4
Fazendo primeiro a integral em
, usamos
e
. Depois calculamos
Passo 5
Combinando esses resultados obtemos
Passo 6
Para a parte cônica, parametrizamos por coordenadas polares
no plano
, com
(vindo da interseção com a esfera) e
. Aqui
Passo 7
A integral sobre o cone é
Passo 8
A integral total é a soma das duas partes: