I. Nos exercícios a seguir, calcule as integrais escalares de superfície.
integral duplaS(y^2+z^2) d S, onde S é a fronteira do sólido determinado por x^2+y^2+z^2 <= 1 e z >= raizx^2+y^2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplaS (y^2 + z^2),dS, onde S é a fronteira do sólido dentro da esfera x^2+y^2+z^2<=1 e acima do cone z=raizx^2+y^2. O conteúdo é integral de superfície; vamos separar S em duas partes: o cap esférico (onde x^2+y^2+z^2=1, z>=raizx^2+y^2) e o lado cônico (onde z=raizx^2+y^2 dentro da esfera).

Passo 2

Para o cap esférico, usamos coordenadas esféricas (r,theta,phi) com r=1, theta medido a partir do eixo z variando de 0 a pi/4 (pois o cone corresponde a theta=pi/4), e phi de 0 a 2pi. Nesse caso temos
y^2+z^2=sin^2theta,sin^2phi+cos^2theta, dS=sintheta,dtheta,dphi

Passo 3

Logo a integral sobre o cap esférico fica
I1=integral0^2pi!integral0^pi/4l(sin^2thetasin^2phi+cos^2thetar)sintheta,dtheta,dphi

Passo 4

Fazendo primeiro a integral em phi, usamos integral0^2pisin^2phi,dphi=pi e integral0^2pi1,dphi=2pi. Depois calculamos
integral0^pi/4sin^3theta,dtheta=23-5raiz212, integral0^pi/4cos^2thetasintheta,dtheta=13-raiz212

Passo 5

Combinando esses resultados obtemos
I1=pi(16-7raiz2)12

Passo 6

Para a parte cônica, parametrizamos por coordenadas polares (rho,phi) no plano z=rho, com 0<=rho<=1/raiz2 (vindo da interseção com a esfera) e 0<=phi<=2pi. Aqui
y^2+z^2=rho^2(1+sin^2phi), dS=raiz1+fx^2+fy^2,dA=raiz2,rho,drho,dphi

Passo 7

A integral sobre o cone é
I2=integral0^2pi!integral0^1/raiz2rho^2(1+sin^2phi)cdot(raiz2,rho),drho,dphi =3raiz2,pi16

Passo 8

A integral total é a soma das duas partes:
I=I1+I2=pi(16-7raiz2)12+3raiz2,pi16 =pil(64-19raiz2r)48

Resposta

pil(64-19raiz2r)48

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