Calcule as integrais de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z, onde C é o segmento de reta ligando (1,0,0) a (4,1,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_C z\,dx + x\,dy + y\,dz
ao longo do segmento de reta ligando os pontos (1,0,0) e (4,1,2). Este tipo de integral exige parametrizar a curva C, obter dx, dy, dz em função de um parâmetro e substituir na forma diferencial.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta por
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (1,0,0) + t\bigl((4,1,2)-(1,0,0)\bigr) = (1+3t,\;t,\;2t), \quad 0 \le t \le 1.
Dessa forma,
dx = 3\,dt, \quad dy = 1\,dt, \quad dz = 2\,dt.

Passo 3

Substituindo x=1+3t, y=t e z=2t na forma diferencial, obtemos
z\,dx + x\,dy + y\,dz =2t\cdot 3\,dt + (1+3t)\cdot 1\,dt + t\cdot 2\,dt = (6t + 1 + 3t + 2t)\,dt = (11t + 1)\,dt.

Passo 4

Basta agora integrar de t=0 a t=1:
\int_0^1 (11t + 1)\,dt = \left[\frac{11t^2}{2} + t\right]_0^1 = \frac{11}{2} + 1 = \frac{13}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{2}

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