\int^{4} \int^{6}-x y^{2} d x d y \quad 2 \cdot \int^{1} \int^{2}(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas sobre retângulos em (x,y):
I = \int_{y=0}^{4}\!\int_{x=0}^{6} (-x\,y^{2})\,dx\,dy
e
J = 2\,\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2} (x - y)\,dy\,dx.
O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como iterada e usar a linearidade da integral.

Passo 2

Para I, primeiro integramos em x:
\int_{x=0}^{6}(-x\,y^{2})\,dx = -y^{2}\,\int_{0}^{6}x\,dx = -y^{2}\,\biggl[\tfrac{x^{2}}{2}\biggr]_{0}^{6} = -y^{2}\,\bigl(\tfrac{6^{2}}{2}\bigr) = -18\,y^{2}.
Agora integramos em y:
I = \int_{y=0}^{4}(-18\,y^{2})\,dy = -18\,\int_{0}^{4}y^{2}\,dy = -18\,\biggl[\tfrac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{4} = -18\,\bigl(\tfrac{4^{3}}{3}\bigr) = -18\,\bigl(\tfrac{64}{3}\bigr) = -384.

Passo 3

Para J, primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{2}(x - y)\,dy = \int_{0}^{2}x\,dy \;-\;\int_{0}^{2}y\,dy = x\cdot 2 \;-\;\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} = 2x - 2.
Em seguida, integramos em x e multiplicamos por 2:
J = 2\int_{x=0}^{1}(2x - 2)\,dx = 2\,\biggl[\; \int_{0}^{1}2x\,dx \;-\; \int_{0}^{1}2\,dx\biggr] = 2\,\Bigl[\; \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{1} \;-\; \bigl[2x\bigr]_{0}^{1}\Bigr] = 2\,\bigl(1 - 2\bigr) = -2.

Resposta

I = -384
J = -2

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