Determine
\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x^{2}+1} d x
Usando a regra dos trapézios com 4 trapézios.

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{x^{2}+1}\,dx
usando a regra dos trapézios com 4 trapézios. Informações dadas e o que ficou explícito:
  • Intervalo de integração: [0,1].
  • Número de trapézios: n=4.
  • Quero uma aproximação numérica da integral com a regra composta dos trapézios usando 4 subintervalos iguais.
  • Pontos (nós) uniformes que vou usar: \,x_0=0,\;x_1=0,25,\;x_2=0,5,\;x_3=0,75,\;x_4=1.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula da regra composta dos trapézios (aqui eu explico claramente o que é e como aplicar):
  • Se o intervalo é [a,b] e eu divido em n subintervalos iguais, o tamanho de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}.
  • A regra composta dos trapézios diz que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right).
Explicando em palavras: somo as alturas f em todos os nós, dou metade de peso às extremidades e peso 1 às internas, multiplico pelo comprimento h. É como aproximar a área por trapézios em cada subintervalo e somar.
  • No nosso caso a=0, b=1, n=4, então
h=\frac{1-0}{4}=0,25.
Portanto a aproximação será
\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x^{2}+1}\,dx \approx 0,25\left(\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right),
onde f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora calculo f nos nós. Primeiro escrevo cada valor de forma exata (quando possível) para depois aproximar numericamente:
  • \;f(0)=\dfrac{\ln(1+0)}{0^{2}+1}=\dfrac{0}{1}=0.
  • \;f(0{,}25)=\dfrac{\ln(1{,}25)}{1+0{,}25^{2}}=\dfrac{\ln(5/4)}{1{,}0625}. Observação útil: 1{,}0625=\dfrac{17}{16}, logo
f(0{,}25)=\frac{\ln(5/4)}{17/16}=\frac{16}{17}\ln\!\left(\frac{5}{4}\right).
  • \;f(0{,}5)=\dfrac{\ln(1{,}5)}{1+0{,}5^{2}}=\dfrac{\ln(3/2)}{1{,}25}. Como 1{,}25=\dfrac{5}{4},
f(0{,}5)=\frac{\ln(3/2)}{5/4}=\frac{4}{5}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
  • \;f(0{,}75)=\dfrac{\ln(1{,}75)}{1+0{,}75^{2}}=\dfrac{\ln(7/4)}{1{,}5625}. Como 1{,}5625=\dfrac{25}{16},
f(0{,}75)=\frac{\ln(7/4)}{25/16}=\frac{16}{25}\ln\!\left(\frac{7}{4}\right).
  • \;f(1)=\dfrac{\ln(2)}{1+1^{2}}=\dfrac{\ln 2}{2}.
Essas formas são úteis porque reduzem a divisão a multiplicações por frações simples (por exemplo 16/17, 4/5, 16/25, 1/2), o que facilita o cálculo sem crise de algarismos.

Passo 4

Agora vou aproximar numericamente as constantes \ln(1{,}25), \ln(1{,}5), \ln(1{,}75) e \ln 2. Em provas costuma-se aceitar usar valores tabelados ou uma calculadora; se você quiser fazer sem calculadora pode obter aproximações com a série de Taylor de \ln(1+x) para x pequeno. Aqui uso valores aproximados conhecidos (vou indicar como multiplicar pelas frações obtidas no passo anterior):
  • Valores (apróx. suficientes para 6–9 casas decimais):
\ln\!\left(\frac{5}{4}\right)\approx 0{,}22314355131420976,
\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 0{,}40546510810816438,
\ln\!\left(\frac{7}{4}\right)\approx 0{,}55961578793542270,
\ln 2\approx 0{,}69314718055994531.
Agora multiplico por cada fração:
  • Para x_1=0{,}25:
f(0{,}25)=\frac{16}{17}\ln\!\left(\frac{5}{4}\right)\approx \frac{16}{17}\cdot 0{,}22314355131420976.
Calculo: \dfrac{16}{17}\approx 0{,}9411764705882353. Multiplicando:
f(0{,}25)\approx 0{,}21001746241313800.
(Detalhe: multiplicação feita como 0{,}22314355131420976\times 16/17.)
  • Para x_2=0{,}5:
f(0{,}5)=\frac{4}{5}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 0{,}8\cdot 0{,}40546510810816438=0{,}32437208648653150.
  • Para x_3=0{,}75:
f(0{,}75)=\frac{16}{25}\ln\!\left(\frac{7}{4}\right)\approx 0{,}64\cdot 0{,}55961578793542270=0{,}35815410427867053.
  • Para x_4=1:
f(1)=\frac{\ln 2}{2}\approx \frac{0{,}69314718055994531}{2}=0{,}34657359027997265.
Recapitulando os valores aproximados (arredondados para 15–17 dígitos onde necessário):
f(0)\approx 0{,}000000000000000,\quad f(0{,}25)\approx 0{,}210017462413138,\quad f(0{,}5)\approx 0{,}324372086486532,
f(0{,}75)\approx 0{,}358154104278671,\quad f(1)\approx 0{,}346573590279973.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do Passo 2 com h=0{,}25:
\text{Aproximação} = 0{,}25\left(\frac{f(0)+f(1)}{2}+f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)\right).çã
Substituo os números:
\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{0+0{,}34657359027997265}{2}=0{,}17328679513998632.
Somando as parcelas internas:
0{,}17328679513998632 + 0{,}210017462413138 + 0{,}3243720864865315 + 0{,}3581541042786705
Faço a soma passo a passo (mostrando as etapas):
0{,}17328679513998632 + 0{,}210017462413138 = 0{,}3833042575531243,
0{,}3833042575531243 + 0{,}3243720864865315 = 0{,}7076763440396558,
0{,}7076763440396558 + 0{,}3581541042786705 = 1{,}0658304483183263.
Agora multiplico por h=0{,}25:
0{,}25\times 1{,}0658304483183263 = 0{,}2664576120795816.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: a regra dos trapézios com 4 trapézios dá a aproximação
\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x^{2}+1}\,dx \approx 0{,}2664576120795816.
Em provas normalmente se apresenta o resultado arredondado a um número razoável de casas decimais, por exemplo 0{,}26646. Se quiser um controle do erro: a regra do trapézio tem erro proporcional a h^{2} vezes o máximo de |f''(x)| no intervalo; com n=4 o erro já costuma ser pequeno, mas se precisar posso estimar a cota de erro usando derivadas (posso fazer isso depois).

Resposta

0{,}2664576120795816

Exercícios relacionados