Determine
Usando a regra dos trapézios com 4 trapézios.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando a regra dos trapézios com 4 trapézios. Informações dadas e o que ficou explícito:
- Intervalo de integração:
. - Número de trapézios:
. - Quero uma aproximação numérica da integral com a regra composta dos trapézios usando 4 subintervalos iguais.
- Pontos (nós) uniformes que vou usar:
Passo 2
Vamos escrever a fórmula da regra composta dos trapézios (aqui eu explico claramente o que é e como aplicar):
- Se o intervalo é
e eu divido em subintervalos iguais, o tamanho de cada subintervalo é
- A regra composta dos trapézios diz que
Explicando em palavras: somo as alturas
em todos os nós, dou metade de peso às extremidades e peso 1 às internas, multiplico pelo comprimento
. É como aproximar a área por trapézios em cada subintervalo e somar.
- No nosso caso
, , , então
Portanto a aproximação será
onde
.
Passo 3
Agora calculo
nos nós. Primeiro escrevo cada valor de forma exata (quando possível) para depois aproximar numericamente:
-
-
Observação útil: , logo
-
Como ,
-
Como ,
Essas formas são úteis porque reduzem a divisão a multiplicações por frações simples (por exemplo
,
,
,
), o que facilita o cálculo sem crise de algarismos.
Passo 4
Agora vou aproximar numericamente as constantes
,
,
e
. Em provas costuma-se aceitar usar valores tabelados ou uma calculadora; se você quiser fazer sem calculadora pode obter aproximações com a série de Taylor de
para
pequeno. Aqui uso valores aproximados conhecidos (vou indicar como multiplicar pelas frações obtidas no passo anterior):
- Valores (apróx. suficientes para 6–9 casas decimais):
Agora multiplico por cada fração:
- Para
:
Calculo:
. Multiplicando:
(Detalhe: multiplicação feita como
.)
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Recapitulando os valores aproximados (arredondados para 15–17 dígitos onde necessário):
Passo 5
Agora aplico a fórmula do Passo 2 com
:
Substituo os números:
Somando as parcelas internas:
Faço a soma passo a passo (mostrando as etapas):
Agora multiplico por
:
Passo 6
Interpretação e arredondamento final: a regra dos trapézios com 4 trapézios dá a aproximação
Em provas normalmente se apresenta o resultado arredondado a um número razoável de casas decimais, por exemplo
. Se quiser um controle do erro: a regra do trapézio tem erro proporcional a
vezes o máximo de
no intervalo; com
o erro já costuma ser pequeno, mas se precisar posso estimar a cota de erro usando derivadas (posso fazer isso depois).
Resposta
0{,}2664576120795816