O valor da integral
não pode ser determinado analiticamente. Avalie esse valor utilizando a regra dos trapézios, com ao menos 8 trapézios.
Passo 1
O problema pede que eu avalie numericamente a integral
usando a regra dos trapézios, com pelo menos 8 trapézios. As informações que tenho são:
- O intervalo de integração é
. - A função a integrar é
. - Não podemos obter uma primitiva elementar explícita para
, então precisamos de aproximação numérica. - Vou usar a regra dos trapézios composta com
trapézios (cumpre o requisito “ao menos 8”).
Passo 2
Vou explicar a regra dos trapézios composta de forma didática.
Se dividirmos
em
subintervalos iguais, cada subintervalo tem largura
As abscissas dos nós são
A regra dos trapézios composta aproxima a integral por
O que isso faz, intuitivamente, é aproximar a curva por segmentos lineares em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios formados.
Sobre erro: existe um limite para o erro da regra dos trapézios composta quando
tem segunda derivada contínua. Uma forma comum do limite é
Aqui
é o erro
. Isso nos permite estimar quão boa é a aproximação sem conhecer a integral exata.
Agora vou aplicar isso ao nosso caso com
,
e
.
Passo 3
Calculo dos parâmetros e das derivadas necessárias.
Primeiro, a largura do passo:
A função é
. Vou também precisar de
para estimar o erro. Calculo as derivadas:
No intervalo
, o valor absoluto máximo de
ocorre em
(pois
e
, valores em outros pontos são menores em módulo), então posso usar
Agora calculo os nós
e os valores
para
. As abscissas são
Vou calcular
com aproximações decimais suficientes para a prova. Para melhorar a precisão, usei expansões ou relações como
quando conveniente.
Cálculos (aproximações):
Observação rápida sobre os cálculos: alguns valores foram obtidos por séries de Taylor (para
pequenos) ou por multiplicação de expoentes conhecidos (por exemplo
), para manter precisão adequada sem usar diretamente uma calculadora simbólica.]
Passo 4
Agora aplico a fórmula da regra dos trapézios composta:
Primeiro somo os termos interiores:
Fazendo a soma passo a passo:
Calculo também a média dos extremos:
Então o parêntese fica
Multiplicando por
:
Arredondando para uma quantidade razoável de casas (suficiente para uma prova):
.
Passo 5
Estimativa do erro com a fórmula do erro para a regra dos trapézios composta:
Usando
com
,
e
, obtemos
Portanto a aproximação com
tem erro absoluto no máximo aproximadamente
. Isso confirma que o valor obtido
está dentro de uma margem segura; se quiseres reduzir o erro por um fator 4, basta dobrar
(porque o erro escala como
).
Resposta
0{,}7458655935