O valor da integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x
não pode ser determinado analiticamente. Avalie esse valor utilizando a regra dos trapézios, com ao menos 8 trapézios.

Passo 1

O problema pede que eu avalie numericamente a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx
usando a regra dos trapézios, com pelo menos 8 trapézios. As informações que tenho são:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função a integrar é f(x)=e^{-x^{2}}.
  • Não podemos obter uma primitiva elementar explícita para e^{-x^{2}}, então precisamos de aproximação numérica.
  • Vou usar a regra dos trapézios composta com n=8 trapézios (cumpre o requisito “ao menos 8”).

Passo 2

Vou explicar a regra dos trapézios composta de forma didática.
Se dividirmos [a,b] em n subintervalos iguais, cada subintervalo tem largura
h=\frac{b-a}{n}.
As abscissas dos nós são
x_k = a + k h,\qquad k=0,1,\dots,n.
A regra dos trapézios composta aproxima a integral por
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{n} = h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f(x_{k})\right).
O que isso faz, intuitivamente, é aproximar a curva por segmentos lineares em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios formados.
Sobre erro: existe um limite para o erro da regra dos trapézios composta quando f tem segunda derivada contínua. Uma forma comum do limite é
|E_T| \le \frac{(b-a)h^{2}}{12}\,\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|.
Aqui E_T é o erro \int_a^b f - T_n. Isso nos permite estimar quão boa é a aproximação sem conhecer a integral exata.
Agora vou aplicar isso ao nosso caso com a=0, b=1 e n=8.

Passo 3

Calculo dos parâmetros e das derivadas necessárias.
Primeiro, a largura do passo:
h=\frac{1-0}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125.
A função é f(x)=e^{-x^{2}}. Vou também precisar de f''(x) para estimar o erro. Calculo as derivadas:
f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x^{2}} = -2x\,e^{-x^{2}},
f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x e^{-x^{2}}) = -2e^{-x^{2}} + 4x^{2} e^{-x^{2}} = (4x^{2}-2)e^{-x^{2}}.
No intervalo [0,1], o valor absoluto máximo de f''(x) ocorre em x=0 (pois f''(0)=-2 e |-2|=2, valores em outros pontos são menores em módulo), então posso usar
\max_{x\in[0,1]} |f''(x)| \le 2.
Agora calculo os nós x_k e os valores f(x_k)=e^{-x_k^2} para k=0,\dots,8. As abscissas são
x_k = 0,\,0{,}125,\,0{,}25,\,0{,}375,\,0{,}5,\,0{,}625,\,0{,}75,\,0{,}875,\,1.
Vou calcular f(x_k) com aproximações decimais suficientes para a prova. Para melhorar a precisão, usei expansões ou relações como e^{-(a+b)}=e^{-a}e^{-b} quando conveniente.
Cálculos (aproximações):
\begin{aligned} f(x_{0})&=f(0)=e^{0}=1{,}000000000\\[4pt] f(x_{1})&=f(0{,}125)=e^{-0{,}015625}\approx 0{,}984496437\\[4pt] f(x_{2})&=f(0{,}25)=e^{-0{,}0625}\approx 0{,}939413062\\[4pt] f(x_{3})&=f(0{,}375)=e^{-0{,}140625}\approx 0{,}868815645\\[4pt] f(x_{4})&=f(0{,}5)=e^{-0{,}25}\approx 0{,}778800783\\[4pt] f(x_{5})&=f(0{,}625)=e^{-0{,}390625}\approx 0{,}676633087\\[4pt] f(x_{6})&=f(0{,}75)=e^{-0{,}5625}\approx 0{,}569782825\\[4pt] f(x_{7})&=f(0{,}875)=e^{-0{,}765625}\approx 0{,}465043188\\[4pt] f(x_{8})&=f(1)=e^{-1}\approx 0{,}367879441. \end{aligned}
Observação rápida sobre os cálculos: alguns valores foram obtidos por séries de Taylor (para a pequenos) ou por multiplicação de expoentes conhecidos (por exemplo e^{-0{,}390625}=e^{-0{,}25}e^{-0{,}140625}), para manter precisão adequada sem usar diretamente uma calculadora simbólica.]

Passo 4

Agora aplico a fórmula da regra dos trapézios composta:
T_{8} = h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{8})}{2} + \sum_{k=1}^{7} f(x_{k})\right).
Primeiro somo os termos interiores:
\sum_{k=1}^{7} f(x_{k}) \approx 0{,}984496437 + 0{,}939413062 + 0{,}868815645 + 0{,}778800783 + 0{,}676633087 + 0{,}569782825 + 0{,}465043188.
Fazendo a soma passo a passo:
\sum_{k=1}^{7} f(x_{k}) \approx 5{,}282985027.
Calculo também a média dos extremos:
\frac{f(x_{0})+f(x_{8})}{2} = \frac{1{,}000000000 + 0{,}367879441}{2} \approx 0{,}683939721.
Então o parêntese fica
\frac{f(x_{0})+f(x_{8})}{2} + \sum_{k=1}^{7} f(x_{k}) \approx 0{,}683939721 + 5{,}282985027 = 5{,}966924748.
Multiplicando por h=0{,}125:
T_{8} \approx 0{,}125 \times 5{,}966924748 \approx 0{,}7458655935.
Arredondando para uma quantidade razoável de casas (suficiente para uma prova): \displaystyle T_{8}\approx 0{,}7458656.

Passo 5

Estimativa do erro com a fórmula do erro para a regra dos trapézios composta:
Usando
|E_T| \le \frac{(b-a)h^{2}}{12}\,\max_{[a,b]}|f''(x)|,
com b-a=1, h=1/8 e \max|f''|\le 2, obtemos
|E_T| \le \frac{1\cdot (1/8)^{2}}{12}\cdot 2 = \frac{1}{12}\cdot\frac{1}{64}\cdot 2 = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{64} = \frac{1}{384}\approx 0{,}0026041667.
Portanto a aproximação com n=8 tem erro absoluto no máximo aproximadamente 0{,}0026042. Isso confirma que o valor obtido \approx 0{,}7458656 está dentro de uma margem segura; se quiseres reduzir o erro por um fator 4, basta dobrar n (porque o erro escala como h^{2}).

Resposta

0{,}7458655935

Exercícios relacionados