Calcule
usando uma aproximação com ao menos 4 trapézios.
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
usando no mínimo 4 trapézios. Informações dadas e objetivo:
- Função a integrar:
. - Intervalo de integração:
. - Solicitação: usar uma aproximação pela regra dos trapézios com pelo menos 4 subintervalos (trapézios).
Passo 2
Vamos usar a regra dos trapézios composta. Vou lembrar a fórmula e explicar as variáveis passo a passo. Se dividimos
em
subintervalos iguais, com
e nós
, a aproximação composta é
Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo. -
é o valor da função no ponto .
A lógica: aproximamos a curva por segmentos lineares em cada subintervalo e somamos as áreas dos trapézios formados.
Passo 3
Escolho
(satisfaz “ao menos 4 trapézios”), então
Os nós são
Passo 4
É conveniente notar que a função tem um fator constante
. Podemos escrever
logo a integral é
Posso aplicar a regra dos trapézios à função
e, no final, multiplicar o resultado por
.
Passo 5
Agora calculamos os valores
nos nós. Vou mostrar como calcular cada um de forma direta (uso
):
-
Para
: , . Então -
Para
: , . Então -
Para
: , . Então -
Para
: , . Então -
Para
: , . Então
(As aproximações acima estão com precisão suficiente para a regra dos trapézios.)
Passo 6
Aplicamos a fórmula do trapézio composta à função
:
Substituindo os números (com
):
Calculemos cada termo:
Somando:
Portanto
Passo 7
Agora reconvertemos para a função original multiplicando por
. Usando
:
Esse é o valor aproximado da integral usando 4 trapézios.
Passo 8
(Isto é um comentário pedagógico rápido para você se animar:) podemos comparar com a integral exata, que pode ser calculada analiticamente:
avaliada de
a
dá um valor exato aproximado
. A nossa aproximação com 4 trapézios deu
, portanto o erro é da ordem de
. Se você aumentar
(por exemplo para
ou
) o erro cai bastante.