Calcule
\int_{2}^{3} \sqrt{10 x^{5}} d x
usando uma aproximação com ao menos 4 trapézios.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{2}^{3} \sqrt{10\,x^{5}}\,dx
usando no mínimo 4 trapézios. Informações dadas e objetivo:
  • Função a integrar: \sqrt{10\,x^{5}}.
  • Intervalo de integração: [2,3].
  • Solicitação: usar uma aproximação pela regra dos trapézios com pelo menos 4 subintervalos (trapézios).

Passo 2

Vamos usar a regra dos trapézios composta. Vou lembrar a fórmula e explicar as variáveis passo a passo. Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais, com h=(b-a)/n e nós x_0=a,x_1,\dots,x_n=b, a aproximação composta é
T_n = h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right).
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • f(x_i) é o valor da função no ponto x_i.
    A lógica: aproximamos a curva por segmentos lineares em cada subintervalo e somamos as áreas dos trapézios formados.

Passo 3

Escolho n=4 (satisfaz “ao menos 4 trapézios”), então
h=\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Os nós são
x_0=2,\; x_1=2,25,\; x_2=2,5,\; x_3=2,75,\; x_4=3.

Passo 4

É conveniente notar que a função tem um fator constante \sqrt{10}. Podemos escrever
\sqrt{10\,x^{5}}=\sqrt{10}\;x^{5/2},
logo a integral é
\int_{2}^{3}\sqrt{10\,x^{5}}\,dx=\sqrt{10}\int_{2}^{3}x^{5/2}\,dx.
Posso aplicar a regra dos trapézios à função g(x)=x^{5/2} e, no final, multiplicar o resultado por \sqrt{10}.

Passo 5

Agora calculamos os valores g(x_i)=x_i^{5/2} nos nós. Vou mostrar como calcular cada um de forma direta (uso x^{5/2}=x^{2}\sqrt{x}):
  • Para x_0=2: x_0^{2}=4, \sqrt{2}\approx 1,4142135624. Então
    g(x_0)=2^{5/2}=4\sqrt{2}\approx 4\cdot1,4142135624=5,6568542495.
  • Para x_1=2{,}25: x_1^{2}=5{,}0625, \sqrt{2{,}25}=1{,}5. Então
    g(x_1)=(2{,}25)^{5/2}=5{,}0625\cdot1{,}5=7{,}59375.
  • Para x_2=2{,}5: x_2^{2}=6{,}25, \sqrt{2{,}5}\approx1{,}5811388301. Então
    g(x_2)=(2{,}5)^{5/2}\approx6{,}25\cdot1{,}5811388301=9{,}8821176880.
  • Para x_3=2{,}75: x_3^{2}=7{,}5625, \sqrt{2{,}75}\approx1{,}6583123952. Então
    g(x_3)=(2{,}75)^{5/2}\approx7{,}5625\cdot1{,}6583123952=12{,}5409874885.
  • Para x_4=3: x_4^{2}=9, \sqrt{3}\approx1{,}7320508076. Então
    g(x_4)=3^{5/2}=9\sqrt{3}\approx9\cdot1{,}7320508076=15{,}5884572681.
(As aproximações acima estão com precisão suficiente para a regra dos trapézios.)

Passo 6

Aplicamos a fórmula do trapézio composta à função g(x)=x^{5/2}:
T_{4}^{(g)}=h\left(\frac{g(x_0)}{2}+g(x_1)+g(x_2)+g(x_3)+\frac{g(x_4)}{2}\right).
Substituindo os números (com h=0{,}25):
\begin{aligned} S&=\frac{g(x_0)}{2}+g(x_1)+g(x_2)+g(x_3)+\frac{g(x_4)}{2}\\[4pt] &\approx\frac{5{,}6568542495}{2}+7{,}59375+9{,}8821176880+12{,}5409874885+\frac{15{,}5884572681}{2}. \end{aligned}
Calculemos cada termo:
\frac{5{,}6568542495}{2}\approx2{,}8284271247,\qquad \frac{15{,}5884572681}{2}\approx7{,}7942286341.
Somando:
S\approx2{,}8284271247+7{,}59375+9{,}8821176880+12{,}5409874885+7{,}7942286341=40{,}6395109354.
Portanto
T_{4}^{(g)}=0{,}25\cdot40{,}6395109354\approx10{,}1598777339.]

Passo 7

Agora reconvertemos para a função original multiplicando por \sqrt{10}. Usando \sqrt{10}\approx3{,}1622776602:
T_{4}^{(f)}=\sqrt{10}\;T_{4}^{(g)}\approx3{,}1622776602\cdot10{,}1598777339\approx32{,}128355.
Esse é o valor aproximado da integral usando 4 trapézios.

Passo 8

(Isto é um comentário pedagógico rápido para você se animar:) podemos comparar com a integral exata, que pode ser calculada analiticamente:
\int \sqrt{10\,x^{5}}\,dx=\sqrt{10}\int x^{5/2}dx=\sqrt{10}\cdot\frac{2}{7}x^{7/2},
avaliada de 2 a 3 dá um valor exato aproximado \approx32{,}030864. A nossa aproximação com 4 trapézios deu 32{,}128355, portanto o erro é da ordem de 0{,}0975. Se você aumentar n (por exemplo para 8 ou 16) o erro cai bastante.

Resposta

32,128355

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