5 Estime o valor da integral
usando 3, 4 e 5 trapézios. Compare os resultados com a solução analítica, determinando o erro (diferença entre o valor analítico e o aproximado)
Passo 1
O enunciado pede estimar a integral
usando 3, 4 e 5 trapézios (ou seja, a regra composta do trapézio com
). Depois comparar cada aproximação com o valor analítico e determinar o erro, definido como a diferença entre o valor analítico e o aproximado (isto é,
).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
As tarefas concretas: (1) calcular o valor analítico exato de
; (2) aplicar a regra composta do trapézio para
; (3) calcular os erros
para cada
.
Passo 2
Calcular a solução analítica (exata) da integral. Primeiro encontro uma primitiva de
. Para
uma primitiva
é obtida integrando termo a termo:
Portanto
Avalio entre
e
:
Calculo passo a passo:
logo
Então o valor analítico exato é
Passo 3
Explicar a regra composta do trapézio (fórmula e interpretação). Se dividimos
em
subintervalos iguais, o passo (largura de cada subintervalo) é
Os nós são
para
. A regra composta do trapézio dá a aproximação
Interpretação fácil: cada subintervalo
é aproximado por a área de um trapézio com bases
e
; somando todos obtemos a expressão acima. A regra composta tem erro que, em geral, decresce como
quando
(ou seja, dobrando o número de subintervalos, o erro tende a cair por um fator cerca de 4, para funções suficientemente suaves).
Agora aplico a fórmula para os valores pedidos
. Vou calcular
nos nós com cuidado e usar frações exatas sempre que possível.
Passo 4
Cálculo para
.
Nós:
Calculo em cada nó (lembrando
):
Calculo
Para
:
Para
:
Para
:
Agora aplico a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculo interno:
. E
. Logo a soma é
. Assim
Erro (definido como
):
(O sinal negativo indica que a aproximação do trapézio é maior que o valor exato.)
Passo 5
Cálculo para
.
Nós:
.
Calculo nos nós:
Calculo
Aplicando a fórmula:
Calculo interno:
. Soma total
. Portanto
Erro:
Passo 6
Cálculo para
.
Nós:
Calculo nos nós (usando frações para exatidão):
Calculo
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
E já sabemos
.
Agora a fórmula:
Agora a fórmula:
Substituindo as frações:
Calculo interno:
. Soma das quatro frações com denominador
:
Então a soma interna é
. Assim
Erro:
Passo 7
Comparação e observações finais (didática e moralzinha amiga). Resumindo os valores obtidos: para
obtemos aproximações que vão convergindo para o exato
. Os erros que calculámos são todos negativos — isso significa que todas as aproximações do trapézio sobreestimaram o valor exato neste caso. Note também a queda do erro quando
aumenta: de cerca de
(para
) para
(para
) e para
(para
), coerente com o fato de que o erro do trapézio composto é proporcional a
. Uma dica prática para prova: se a função for polinomial de grau até 3, a regra de Simpson (quando aplicável) dá o valor exato; a regra do trapézio normalmente não é exata para polinômios de grau 3, por isso observamos um erro não nulo aqui.