5 Estime o valor da integral
I=\int_{0}^{4}\left(3 x^{3}-3 x+1\right) d x
usando 3, 4 e 5 trapézios. Compare os resultados com a solução analítica, determinando o erro (diferença entre o valor analítico e o aproximado)

Passo 1

O enunciado pede estimar a integral
I=\int_{0}^{4}\left(3x^{3}-3x+1\right)\,dx
usando 3, 4 e 5 trapézios (ou seja, a regra composta do trapézio com n=3,4,5). Depois comparar cada aproximação com o valor analítico e determinar o erro, definido como a diferença entre o valor analítico e o aproximado (isto é, \text{erro} = I_{\text{analítico}} - I_{\text{aprox}}í).\n
Informações relevantes dadas:
f(x)=3x^{3}-3x+1,\qquad a=0,\qquad b=4.
As tarefas concretas: (1) calcular o valor analítico exato de I; (2) aplicar a regra composta do trapézio para n=3,4,5; (3) calcular os erros I - T_n para cada n.

Passo 2

Calcular a solução analítica (exata) da integral. Primeiro encontro uma primitiva de f. Para f(x)=3x^{3}-3x+1 uma primitiva F(x) é obtida integrando termo a termo:
\int 3x^{3}\,dx = 3\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{3}{4}x^{4},
\int (-3x)\,dx = -3\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{3}{2}x^{2},
\int 1\,dx = x.
Portanto
F(x)=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+x.
Avalio entre 0 e 4:
I=F(4)-F(0)=\left(\frac{3}{4}\cdot 4^{4}-\frac{3}{2}\cdot 4^{2}+4\right)-0.
Calculo passo a passo:
4^{4}=256,\quad \frac{3}{4}\cdot 256=3\cdot 64=192,
4^{2}=16,\quad \frac{3}{2}\cdot 16=24,
logo
I=192-24+4=172.
Então o valor analítico exato é
I=172.

Passo 3

Explicar a regra composta do trapézio (fórmula e interpretação). Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais, o passo (largura de cada subintervalo) é
h=\frac{b-a}{n}.
Os nós são x_{k}=a+k h para k=0,1,\dots,n. A regra composta do trapézio dá a aproximação
T_{n}=h\left(\frac{1}{2}f(x_{0})+\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+\frac{1}{2}f(x_{n})\right).
Interpretação fácil: cada subintervalo [x_{k-1},x_{k}] é aproximado por a área de um trapézio com bases f(x_{k-1}) e f(x_{k}); somando todos obtemos a expressão acima. A regra composta tem erro que, em geral, decresce como O(h^{2}) quando h\to0 (ou seja, dobrando o número de subintervalos, o erro tende a cair por um fator cerca de 4, para funções suficientemente suaves).
Agora aplico a fórmula para os valores pedidos n=3,4,5. Vou calcular f(x) nos nós com cuidado e usar frações exatas sempre que possível.

Passo 4

Cálculo para n=3.
h=\frac{4-0}{3}=\frac{4}{3}.
Nós: x_{0}=0,\;x_{1}=\frac{4}{3},\;x_{2}=\frac{8}{3},\;x_{3}=4.
Calculo f em cada nó (lembrando f(x)=3x^{3}-3x+1):
f(0)=1.
Para x_{1}=\frac{4}{3}:
x_{1}^{3}=\frac{64}{27}\quad\Rightarrow\quad 3x_{1}^{3}=\frac{192}{27}=\frac{64}{9},
-3x_{1}=-3\cdot\frac{4}{3}=-4,
f\!\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{64}{9}-4+1=\frac{64}{9}-3=\frac{37}{9}.
Para x_{2}=\frac{8}{3}:
x_{2}^{3}=\frac{512}{27}\quad\Rightarrow\quad 3x_{2}^{3}=\frac{1536}{27}=\frac{512}{9},
-3x_{2}=-3\cdot\frac{8}{3}=-8,
f\!\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{512}{9}-8+1=\frac{512}{9}-7=\frac{449}{9}.
Para x_{3}=4:
f(4)=3\cdot 4^{3}-3\cdot 4+1=192-12+1=181.
Agora aplico a fórmula:
T_{3}=h\left(\frac{1}{2}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{2})+\frac{1}{2}f(x_{3})\right).
Substituindo os valores:
T_{3}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{37}{9}+\frac{449}{9}+\frac{1}{2}\cdot 181\right).
Calculo interno: \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 181=\frac{182}{2}=91. E \frac{37}{9}+\frac{449}{9}=\frac{486}{9}=54. Logo a soma é 91+54=145. Assim
T_{3}=\frac{4}{3}\cdot 145=\frac{580}{3}\approx 193{,}333\ldots
Erro (definido como I-T_{3}):
\text{erro}_{3}=172-\frac{580}{3}=\frac{516-580}{3}=-\frac{64}{3}\approx -21{,}3333.
(O sinal negativo indica que a aproximação do trapézio é maior que o valor exato.)

Passo 5

Cálculo para n=4.
h=\frac{4-0}{4}=1.
Nós: x_{k}=0,1,2,3,4.
Calculo f nos nós:
f(0)=1,\quad f(1)=3-3+1=1,\quad f(2)=3\cdot 8-6+1=24-6+1=19,
f(3)=3\cdot 27-9+1=81-9+1=73,\quad f(4)=181.
Aplicando a fórmula:
T_{4}=1\left(\frac{1}{2}\cdot 1 + 1 + 19 + 73 + \frac{1}{2}\cdot 181\right).
Calculo interno: \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 181=91. Soma total 91+1+19+73=184. Portanto
T_{4}=184.
Erro:
\text{erro}_{4}=172-184=-12.

Passo 6

Cálculo para n=5.
h=\frac{4-0}{5}=\frac{4}{5}.
Nós: x_{k}=0,\frac{4}{5},\frac{8}{5},\frac{12}{5},\frac{16}{5},4.
Calculo f nos nós (usando frações para exatidão):
f(0)=1.
Para x=\frac{4}{5}:
x^{3}=\frac{64}{125}\Rightarrow 3x^{3}=\frac{192}{125},\quad -3x=-\frac{12}{5}=-\frac{300}{125},
f\!\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{192}{125}-\frac{300}{125}+\frac{125}{125}=\frac{17}{125}.
Para x=\frac{8}{5}:
x^{3}=\frac{512}{125}\Rightarrow 3x^{3}=\frac{1536}{125},\quad -3x=-\frac{24}{5}=-\frac{600}{125},
f\!\left(\frac{8}{5}\right)=\frac{1536-600+125}{125}=\frac{1061}{125}.
Para x=\frac{12}{5}:
x^{3}=\frac{1728}{125}\Rightarrow 3x^{3}=\frac{5184}{125},\quad -3x=-\frac{36}{5}=-\frac{900}{125},
f\!\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{5184-900+125}{125}=\frac{4409}{125}.
Para x=\frac{16}{5}:
x^{3}=\frac{4096}{125}\Rightarrow 3x^{3}=\frac{12288}{125},\quad -3x=-\frac{48}{5}=-\frac{1200}{125},
f\!\left(\frac{16}{5}\right)=\frac{12288-1200+125}{125}=\frac{11213}{125}.
E já sabemos f(4)=181.
Agora a fórmula:
T_{5}=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}f(0)+f\!\left(\tfrac{4}{5}\right)+f\!\left(\tfrac{8}{5}\right)+f\!\left(\tfrac{12}{5}\right)+f\!\left(\tfrac{16}{5}\right)+\frac{1}{2}f(4)\right).
Substituindo as frações:
T_{5}=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{17}{125}+\frac{1061}{125}+\frac{4409}{125}+\frac{11213}{125}+\frac{1}{2}\cdot 181\right).
Calculo interno: \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 181=91. Soma das quatro frações com denominador 125:
\frac{17+1061+4409+11213}{125}=\frac{16700}{125}=133{,}6.
Então a soma interna é 91+133{,}6=224{,}6=\frac{28075}{125}. Assim
T_{5}=\frac{4}{5}\cdot 224{,}6=\frac{4}{5}\cdot\frac{28075}{125}=\frac{112300}{625}=\frac{4492}{25}=179{,}68.
Erro:
\text{erro}_{5}=172-\frac{4492}{25}=\frac{4300-4492}{25}=-\frac{192}{25}\approx -7{,}68.

Passo 7

Comparação e observações finais (didática e moralzinha amiga). Resumindo os valores obtidos: para n=3,4,5 obtemos aproximações que vão convergindo para o exato 172. Os erros que calculámos são todos negativos — isso significa que todas as aproximações do trapézio sobreestimaram o valor exato neste caso. Note também a queda do erro quando n aumenta: de cerca de -21{,}33 (para n=3) para -12 (para n=4) e para -7{,}68 (para n=5), coerente com o fato de que o erro do trapézio composto é proporcional a h^{2}. Uma dica prática para prova: se a função for polinomial de grau até 3, a regra de Simpson (quando aplicável) dá o valor exato; a regra do trapézio normalmente não é exata para polinômios de grau 3, por isso observamos um erro não nulo aqui.

Resposta

T_{3}=\dfrac{580}{3}\approx 193{,}333\ldots ; erro =172-\dfrac{580}{3}=-\dfrac{64}{3}\approx -21{,}333\ldots\n
T_{4}=184 ; erro =172-184=-12\n
T_{5}=\dfrac{4492}{25}=179{,}68 ; erro =172-\dfrac{4492}{25}=-\dfrac{192}{25}=-7{,}68

Exercícios relacionados