Determine, por integração dupla, o volume do tetraedro do primeiro octante delimitado pelos planos coordenados e pelo plano de equação
, em que
e
, são constantes positivas. Resp.:
.
Passo 1
A questão pede o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. O conteúdo a ser usado é cálculo de volume por integração dupla: vamos expressar
em função de
e achar a região de projeção no plano
.
Passo 2
Do plano
isolamos
:
A projeção
no plano
é o triângulo
.
Passo 3
O volume é a integral dupla de
sobre
. Escolhemos como limites de integração
e, para cada
,
. Assim,
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Avaliar em
dá
Passo 6
Substituindo na integral externa:
Passo 7
Fazendo a mudança
, com
e limites de 0 a 1, obtemos