Determine, por integração dupla, o volume do tetraedro do primeiro octante delimitado pelos planos coordenados e pelo plano de equação xa+yb+zc=1, em que a, b e c, são constantes positivas. Resp.: a b c6 u v.

Passo 1

A questão pede o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano tfracxa+tfracyb+tfraczc=1. O conteúdo a ser usado é cálculo de volume por integração dupla: vamos expressar z em função de x,y e achar a região de projeção no plano xy.

Passo 2

Do plano tfracxa+tfracyb+tfraczc=1 isolamos z: z(x,y)=cl(1-xa-ybr) A projeção D no plano xy é o triângulo (x,y)mid x>=0,;y>=0,;tfracxa+tfracyb<=1.

Passo 3

O volume é a integral dupla de z(x,y) sobre D. Escolhemos como limites de integração xin[0,a] e, para cada x, yin[0,,b(1-tfracxa)]. Assim,
V=integral0^aintegral0^b(1-tfracxa)cl(1-tfracxa-tfracybr),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
integral0^b(1-tfracxa)cl(1-tfracxa-tfracybr),dy = cl[(1-tfracxa)y - tfracy^22br]0^b(1-tfracxa)

Passo 5

Avaliar em y=b(1-tfracxa)
cl[b(1-tfracxa)^2 - tfracb(1-tfracxa)^22r] = cb2l(1-xar)^2

Passo 6

Substituindo na integral externa:
V = cb2integral0^al(1-xar)^2 dx

Passo 7

Fazendo a mudança t=tfracxa, com dx=a,dt e limites de 0 a 1, obtemos
V=cb2,aintegral0^1(1-t)^2dt = abc2cdot13 = abc6

Resposta

a b c6

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