Calcule:
© integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=-1^2integraly=1^x^2integralz=0^x+y2x^2y,dz,dy,dx,
um exercício de integração iterada em coordenadas cartesianas, onde vamos aplicar sucessivamente a propriedade de integrais definidas em cada variável.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a z, mantendo x e y fixos. Como o integrando 2x^2y não depende de z, temos
integral0^x+y2x^2y,dz=2x^2yl[zr]0^x+y=2x^2y(x+y)
Substituindo na integral, fica
integral-1^2integral1^x^22x^2y(x+y),dy,dx

Passo 3

Agora expandimos o integrando e integramos em y:
2x^2y(x+y)=2x^3y+2x^2y^2
Então
integral1^x^2(2x^3y+2x^2y^2),dy =integral1^x^22x^3y,dy+integral1^x^22x^2y^2,dy
Calculando cada uma:
integral1^x^22x^3y,dy=2x^3cdoty^22|1^x^2=x^3l((x^2)^2-1r)=x^7-x^3,
integral1^x^22x^2y^2,dy=2x^2cdoty^33|1^x^2=2x^23l((x^2)^3-1r)=23(x^8-x^2)
Somando, obtemos a integral reduzida em x:
integral-1^2l(23x^8+x^7-x^3-23x^2r),dx

Passo 4

Finalmente, integramos em x term a term e avaliamos de -1 a 2. Um antiderivado é
F(x)=227x^9+18x^8-14x^4-29x^3,
e então
F(2)-F(-1)=173227-5216= 13856-5216=13851216=5138

Passo 5

Portanto, o valor da integral tripla é dado por 5138.

Resposta

5138

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