Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=x+27 x-2 x^2-3

Passo 1

Vamos encontrar a série de Maclaurin de f(x)=x+27x-2x^2-3 usando séries geométricas e depois determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para identificar as singularidades. Observamos:
7x-2x^2-3 = -2(x^2-tfrac72x+tfrac32) = -2(x-tfrac12)(x-3)
Logo, escrevemos f(x) como
f(x)=x+2-2(x-tfrac12)(x-3)=-x+23,(1-2x),(1-tfracx3)

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais na forma
-x+23,(1-2x),(1-tfracx3) = A1-2x+B1-tfracx3
Igualando numeradores, obtemos o sistema:
A+B=-tfrac23,
A3+2B=tfrac13
Resolvendo, achamos A=-1 e B=tfrac13. Portanto
f(x)= -11-2x + 1/31-tfracx3

Passo 4

Agora usamos a série geométrica 11-r=sumn=0^infty r^n para cada termo, válida quando |r|<1:
-11-2x = -sumn=0^infty (2x)^n = -sumn=0^infty 2^n x^n,
válido para |2x|<1 isto é |x|, e
1/31-tfracx3 = 13sumn=0^infty l(x3r)^n = sumn=0^infty x^n3^n+1,
válido para |x/3|<1 isto é |x|<3.
Somando os dois, obtemos a série de Maclaurin:
f(x)=sumn=0^inftyl(-2^n + 3^-(n+1)r)x^n,
e o raio de convergência é dado pela menor das duas condições, ou seja R=tfrac12.

Resposta

A série de Maclaurin é
f(x)=sumn=0^inftyl(-2^n +3^-(n+1)r)x^n
com raio de convergência R=tfrac12.

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