Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
Vamos encontrar a série de Maclaurin de
usando séries geométricas e depois determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para identificar as singularidades. Observamos:
Logo, escrevemos
como
Passo 3
Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais na forma
Igualando numeradores, obtemos o sistema:
Resolvendo, achamos
e
. Portanto
Passo 4
Agora usamos a série geométrica
para cada termo, válida quando
:
válido para
isto é
, e
válido para
isto é
.
Somando os dois, obtemos a série de Maclaurin:
Somando os dois, obtemos a série de Maclaurin:
e o raio de convergência é dado pela menor das duas condições, ou seja
.
Resposta
A série de Maclaurin é
com raio de convergência
.