Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=x^2 ln (x+4)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x²·ln(x+4) e o raio de convergência. Vamos usar a expansão conhecida de ln(1+u) e depois multiplicar por x².

Passo 2

Primeiro expressamos ln(x+4) de modo a usar ln(1+u). Note que
$$\ln(x+4)=\ln\bigl(4(1+\tfrac{x}{4})\bigr)=\ln4+\ln\bigl(1+\tfrac{x}{4}\bigr).
ln(x+4)=lnl(4(1+tfracx4)r)=ln4+lnl(1+tfracx4r) éé\ln(1+u)=\sum_{n=1}\infty(-1){n-1}\frac{u^n}{n}.
$$

Passo 3

Substituindo u=x/4 obtemos
ln(x+4)=ln4+sumn=1^infty(-1)^n-11nl(tfracx4r)^n =ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n

Passo 4

Agora basta multiplicar por x² para achar f(x):
f(x)=x^2ln(x+4)=x^2ln4+x^2sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n = x^2ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+2n,4^n

Passo 5

O critério de convergência vem de |x/4|<1, ou seja, o raio de convergência é R=4.

Resposta

A série de Maclaurin é
f(x)=x^2ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+2n,4^n,
com raio de convergência R=4.

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