Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x²·ln(x+4) e o raio de convergência. Vamos usar a expansão conhecida de ln(1+u) e depois multiplicar por x².
Passo 2
Primeiro expressamos ln(x+4) de modo a usar ln(1+u). Note que
$$\ln(x+4)=\ln\bigl(4(1+\tfrac{x}{4})\bigr)=\ln4+\ln\bigl(1+\tfrac{x}{4}\bigr).
$$
Passo 3
Substituindo u=x/4 obtemos
Passo 4
Agora basta multiplicar por x² para achar f(x):
Passo 5
O critério de convergência vem de |x/4|<1, ou seja, o raio de convergência é R=4.
Resposta
A série de Maclaurin é
com raio de convergência R=4.