Determine as integrais abaixo:
integral x^3(raiz4 x^2+9)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3l(raiz4x^2+9r)^tfrac32,dx
Aqui vamos usar técnicas de reescrever potências e de substituição u.

Passo 2

Reescrevendo o denominador como potência de 4x^2+9:
l(raiz4x^2+9r)^tfrac32 =(4x^2+9)^tfrac12cdottfrac32 =(4x^2+9)^tfrac34,
logo a integral vira
integral x^3,(4x^2+9)^-tfrac34,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 4x^2+9, du = 8x,dx Longrightarrow x,dx = du8
Também escrevemos
x^3,dx = x^2,(x,dx) = u-94,du8 = u-932,du
Assim a integral fica
integral x^3(4x^2+9)^-tfrac34,dx = integral u-932,u^-tfrac34,du = 132integrall(u^tfrac14-9u^-tfrac34r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u^tfrac14du = u^tfrac54tfrac54 = 45u^tfrac54, integral u^-tfrac34du = u^tfrac14tfrac14 = 4u^tfrac14
Portanto
132l(45u^tfrac54-9cdot4,u^tfrac14r) = 140u^tfrac54-98u^tfrac14+C

Passo 5

Voltando a x com u=4x^2+9, a solução final é
(4x^2+9)^tfrac5440 -9,(4x^2+9)^tfrac148 + C

Resposta

(4x^2+9)^tfrac5440 -9,(4x^2+9)^tfrac148 + C

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