Mostre que se as vibrações elétricas do circuito são livres, ou seja E(t)=0, então haverá três soluções distintas para a equação (1), discriminadas pela constante R^2-4 LC.

Passo 1

O enunciado trata das vibrações livres de um circuito RLC, ou seja, E(t)=0. A equação diferencial de ordem 2 que descreve a carga Q(t) no capacitor é linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Com E(t)=0, a equação ( 1) fica
L,d^2Qdt^2 ;+; R,dQdt ;+;1C,Q ;=; 0
Procuramos uma solução da forma Q(t)=e^r t. Substituindo na equação, obtemos a característica
L,r^2 ;+; R,r ;+;1C ;=; 0

Passo 3

O discriminante dessa equação quadrática é
De<a ;=; R^2 ;-; 4,L,1C ;=; R^2 ;-;4,LC
É justamente o sinal de De<a que gera três tipos de solução.

Passo 4

Caso De<a>0: há duas raízes reais distintas
r1,2 = -RpmraizDe<a2,L
A solução geral é
Q(t) ;=; A,e^r1t ;+; B,e^r2t,
que corresponde ao regime superamortecido.

Passo 5

Caso De<a=0: há raiz real dupla
r = -R2,L
A solução geral é
Q(t) ;=; l(A + B,tr),e^-,R2L,t,
regime criticamente amortecido.

Passo 6

Caso De<a<0: há duas raízes complexas conjugadas
r = -R2,Lpm i,raiz-De<a2,L = alphapm iomega,
com alpha=-tfracR2L e omega=tfracraiz4L/C - R^22L. A solução geral é
Q(t)=e^alpha tl(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r),
regime subamortecido.

Resposta

Para vibrações livres ( E(t)=0) a solução de
L,Q''+R,Q'+tfrac1C,Q=0
é dada por três casos, conforme o discriminante De<a=R^2-tfrac4LC:
bul<=t De<a>0: Q(t)=A,e^r1t+B,e^r2t.
bul<=t De<a=0: Q(t)=(A+B,t),e^-R t/(2L).
bul<=t De<a<0: Q(t)=e^-R t/(2L)l(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r).

Exercícios relacionados