Mostre que se as vibrações elétricas do circuito são livres, ou seja
, então haverá três soluções distintas para a equação (1), discriminadas pela constante
.
Passo 1
O enunciado trata das vibrações livres de um circuito RLC, ou seja,
. A equação diferencial de ordem
que descreve a carga
no capacitor é linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Com
, a equação (
) fica
Procuramos uma solução da forma
. Substituindo na equação, obtemos a característica
Passo 3
O discriminante dessa equação quadrática é
É justamente o sinal de
que gera três tipos de solução.
Passo 4
Caso
: há duas raízes reais distintas
A solução geral é
que corresponde ao regime superamortecido.
Passo 5
Caso
: há raiz real dupla
A solução geral é
regime criticamente amortecido.
Passo 6
Caso
: há duas raízes complexas conjugadas
com
e
. A solução geral é
regime subamortecido.
Resposta
Para vibrações livres (
) a solução de
é dada por três casos, conforme o discriminante
: