Determine as integrais abaixo:
integral sen(x)-cos (x)sen(x)+cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin(x) - cos(x)sin(x) + cos(x),dx
Este é um problema de integração de função racional em termos de funções trigonométricas, e vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = sin(x) + cos(x)
Para isso, precisamos do diferencial de u.

Passo 3

Calculando du, temos
du = (cos(x) - sin(x)),dx
Mas o numerador da integral é sin(x) - cos(x), que é justamente o negativo de cos(x) - sin(x). Logo,
(sin(x) - cos(x)),dx = -,(cos(x) - sin(x)),dx = -,du

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral sin(x) - cos(x)sin(x) + cos(x),dx = integral -,duu = -integral duu

Passo 5

Integramos em u:
-integral duu = -lnl|ur| + C
Voltando a x, como u = sin(x) + cos(x), a primitiva é
-lnl|sin(x) + cos(x)r| + C

Resposta

integral sin(x) - cos(x)sin(x) + cos(x),dx = -lnl|sin(x) + cos(x)r| + C

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