Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(t)=t arccos 3 t

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(t)=t;arccosl(3tr)
e pede para calcular f'(t) usando a regra do produto combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto, que diz que
l[u(t),v(t)r]' = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)
Aqui u(t)=t e v(t)=arccosl(3tr). Logo,
f'(t) =1cdot arccosl(3tr) + t;ddtl[arccosl(3tr)r]

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia para v(t)=arccos(u) com u=3t. Sabemos que
ddul[arccos(u)r] =-1raiz1-u^2
e que u'(t)=3. Portanto,
ddtl[arccosl(3tr)r] =-3raiz1-(3t)^2 =-3raiz1-9t^2

Resposta

Combinando os resultados,
f'(t) =arccosl(3tr) + t!l(-tfrac3raiz1-9t^2r) =arccosl(3tr) -3,traiz1-9t^2

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