Determine as integrais abaixo. Descreva qual método você vai usar para resolvê-la. Apresente todos os cálculos.
integral0^pi4 tan ^3 thetacos ^2 theta d theta

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida
integral0^pi4 tan^3thetacos^2theta ,dtheta
Isso é conteúdo de integração por substituição (u-substitution), aproveitando que a derivada de tantheta é sec^2theta.

Passo 2

Primeiro, reescrevo o integrando usando sectheta=1/costheta:
tan^3thetacos^2theta = tan^3theta,sec^2theta
Como aparece exatamente sec^2theta,dtheta, já dá para pensar em usar u=tantheta.

Passo 3

Faço a substituição:
u = tantheta, d u = sec^2theta,dtheta
Quando theta=0, temos u(0)=0. Quando theta=pi/4, temos u(pi/4)=1. A integral vira
integral0^1 u^3,du

Passo 4

Agora é só integrar um polinômio:
integral0^1 u^3,du = l[u^44r]0^1 = 1^44-0 = 14

Passo 5

Portanto, o valor da integral definitiva é 1/4.

Resposta

1/4

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