Mostre que
(1+i)^i=exp (-pi4+2 n pi) exp (i ln 22), n in Z;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (1+i)^i=expl(-tfracpi4+2npir)expl(itfracln22r) com nin Z. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo via logaritmo complexo multivalorado.

Passo 2

Para resolver, primeiro escrevemos 1+i em forma polar. O módulo é |1+i|=raiz1^2+1^2=raiz2 e o argumento principal é . Logo, considerando as ramificações do argumento,
Arg(1+i)=tfracpi4

Passo 3

Usamos então a definição , onde é multivalorado. Calculamos o logaritmo de z^i=expl(iLog zr):

Passo 4

Multiplicando por i, temos

Passo 5

Por fim,
Como (1+i)^i=expl(iLog(1+i)r)=expl(-tfracpi4-2npir)expl(itfracln22r) percorre todos os inteiros, basta trocar n por n para obter
-n

Resposta

(1+i)^i=\exp\Bigl(-\tfrac{\pi}{4}+2n\pi\Bigr)\exp\Bigl(i\tfrac{\ln2}{2}\Bigr),\quad n\in\mathbb Z.

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