Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
com
. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo via logaritmo complexo multivalorado.
Passo 2
Para resolver, primeiro escrevemos
em forma polar. O módulo é
e o argumento principal é . Logo, considerando as ramificações do argumento,
Passo 3
Usamos então a definição , onde é multivalorado. Calculamos o logaritmo de
:
Passo 4
Multiplicando por
, temos
Passo 5
Por fim,
Como
percorre todos os inteiros, basta trocar
por
para obter
Resposta
(1+i)^i=\exp\Bigl(-\tfrac{\pi}{4}+2n\pi\Bigr)\exp\Bigl(i\tfrac{\ln2}{2}\Bigr),\quad n\in\mathbb Z.