Esboce o gráfico da função f(x)=x-b|x-b|, para x in(-infty, b) cup(b,+infty). Estime graficamente os limites abaixo. Dê uma breve explicação para suas respostas. O número b é o digito da dezena de sua matrícula.
lim x b^- f(x) e lim x b^+ f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{x - b}{|x - b|} $ para $ x $ diferente de $ b $. Além disso, vamos estimar graficamente os limites quando $ x $ se aproxima de $ b $ pela esquerda ($ b^- f(x) = x - b|x - b| b^+ $). Para isso, vamos precisar entender de funções absolutas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = \frac{x - b}{|x - b|} $. O denominador é o módulo de $ x - b $, que sempre dá um valor positivo ou zero. Mas como $ x $ nunca é igual a $ b $, o módulo será sempre positivo. Então, a função simplifica-se para:
  • $ f(x) = 1 $ quando $ x - b > 0 $ (ou seja, $ x > b $)
  • $ f(x) = -1 $ quando $ x - b < 0 $ (ou seja, $ x < b $)

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico. Para $ x < b $, a função vale -1, então temos uma linha horizontal abaixo do eixo $ x $. Para $ x > b $, a função vale 1, então outra linha horizontal acima do eixo $ x $. No ponto $ x = b $, a função não está definida, então teremos um buraco aí.

Passo 4

Com o gráfico desenhado, podemos visualizar os limites. O limite pela esquerda ($ x \to b^- $) é o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega perto de $ b $ vindo dos menores valores, ou seja, de $ x < b $. Olhando para o gráfico, para $ x < b $, $ f(x) = -1 $.

Passo 5

De maneira similar, o limite pela direita ($ x \to b^+ $) é o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega perto de $ b $ vindo dos maiores valores, ou seja, de $ x > b $. No gráfico, para $ x > b $, $ f(x) = 1 $.

Resposta

lim x b^- f(x) = -1 e lim x b^+ f(x) = 1

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