Determine as integrais abaixo:
\int \frac{x^{2}+1}{7} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{7}\,dx.
O conteúdo utilizado será a linearidade da integral (podemos extrair constantes) e a regra do poder para polinômios.

Passo 2

Extraímos a constante \tfrac{1}{7} fora da integral:
\int \frac{x^{2}+1}{7}\,dx =\frac{1}{7}\int\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo usando \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} e \int 1\,dx=x:
\int\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx =\int x^{2}\,dx+\int 1\,dx =\frac{x^{3}}{3}+x.

Passo 4

Multiplicamos pela constante \tfrac{1}{7} e adicionamos a constante de integração C:
\frac{1}{7}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+x\Bigr)+C =\frac{x^{3}}{21}+\frac{x}{7}+C.

Resposta

\frac{x^{3}}{21}+\frac{x}{7}+C.

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