Determine as integrais definidas abaixo:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x+\cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida da função f(x)=\sin x+\cos x no intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F é uma antiderivada de f.

Passo 2

Precisamos, então, encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=\sin x+\cos x. Como
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=\sin x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x,
podemos escolher
F(x) = -\cos x + \sin x.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -0 + 1 = 1,
F\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\cos\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) + \sin\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -0 + (-1) = -1.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)\,dx =F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)-F\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =1 - (-1) =2.

Resposta

2

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