Calcule a integral iterada.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2}\left(y+2 x e^{y}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=1^2integralx=0^2l(y + 2x e^yr),dx,dy
O conteúdo é duplo integral iterado: primeiro integramos em x mantendo y fixo (teorema de Fubini) e depois em y.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
integral0^2l(y + 2x e^yr),dx = integral0^2y,dx + integral0^22x e^y,dx
Como y é constante em relação a x,
integral0^2y,dx = yintegral0^2dx = 2y,
e como e^y também é constante,
integral0^22x e^y,dx = 2e^yintegral0^2x,dx = 2e^ycdot2^22 = 4e^y
Logo a integral interna vale
2y + 4e^y

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^2l(2y + 4e^yr),dy = 2integral1^2y,dy + 4integral1^2e^y,dy
Calculando cada parte:
2integral1^2y,dy = 2[y^22]1^2 = l[y^2r]1^2 = 4 - 1 = 3,
4integral1^2e^y,dy = 4l[e^yr]1^2 = 4l(e^2 - er)

Passo 4

Somando os resultados:
3 + 4l(e^2 - er) = 3 + 4e^2 - 4e

Resposta

3 + 4e^2 - 4e

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