Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral d xraiz9 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral dxraiz9x^2-1
Este tipo de integral tem a forma
integral dxraiza^2x^2-1
e é resolvido com a substituição trigonométrica x=tfrac1asectheta. Vamos usar isso com a=3, lembrando também da primitiva de sectheta:
integral sectheta,dtheta=lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 13sectheta Longrightarrow dx = 13secthetatantheta ,dtheta
Agora expressamos o radicando em theta:
raiz9x^2-1 = raiz9l(tfrac13secthetar)^2-1 = raizsec^2theta -1 = tantheta

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral dxraiz9x^2-1 = integral tfrac13secthetatantheta ,dthetatantheta = 13integral sectheta ,dtheta
Agora aplicamos a primitiva de sectheta:
13integral sectheta,dtheta = 13,lnl|sectheta+tanthetar| + C

Passo 4

Fazendo o retorno para a variável x:
sectheta = 3x, tantheta = raizsec^2theta-1 = raiz9x^2-1
Logo
lnl|sectheta+tanthetar| = lnl|3x + raiz9x^2-1r|

Resposta

integral dxraiz9x^2-1 = 13,ln!l|3x + raiz9x^2-1r| + C

Exercícios relacionados