Determine as integrais abaixo:
integral0^2 x^3 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2x^3raiz4 - x^2,dx. Esse tipo de integral envolve uma raiz quadrada de 4 - x^2, indicando que uma mudança de variável pode simplificar o cálculo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - x^2
Dessa forma
du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du,
e também x^2 = 4 - u. Os limites mudam de x=0to u=4 e x=2to u=0.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral0^2x^3raiz4 - x^2,dx = integral4^0x^2,raizu,l(x,dxr) = integral4^0(4 - u),u^1/2,l(-tfrac12,dur)
Invertemos os limites e tiramos o sinal menos:
= tfrac12integral0^4(4 - u),u^1/2,du

Passo 4

Expandindo o integrando:
(4 - u),u^1/2 = 4u^1/2 - u^3/2
Logo a integral fica
tfrac12integral0^4l(4u^1/2 - u^3/2r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
tfrac12l[ 4cdot23u^3/2 ;-; 25u^5/2 r]0^4 = tfrac12l[tfrac83,4^3/2 - tfrac25,4^5/2r]
Como 4^3/2=8 e 4^5/2=32, temos
tfrac12l[tfrac83cdot8 - tfrac25cdot32r] = tfrac12l[tfrac643 - tfrac645r] = tfrac12cdottfrac12815 = tfrac6415

Resposta

6415

Exercícios relacionados