Determine as integrais abaixo:
integral0^2 z^2 ln z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^2 z^2 ln z , dz. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No nosso caso, temos z^2 e ln z. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivamos. Vamos escolher:
u = ln z e dv = z^2 , dz

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
du = 1z , dz (derivada de ln z)
v = integral z^2 , dz = z^33

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^2 z^2 ln z , dz = uv |0^2 - integral0^2 v , du
Substituindo u, v, du:
= ( ln z cdot z^33 ) |0^2 - integral0^2 z^33 cdot 1z , dz

Passo 5

Simplificando a expressão:
= ( ln z cdot z^33 ) |0^2 - integral0^2 z^23 , dz
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, avaliaremos o termo ( ln z cdot z^33 ) |0^2:
Para z = 2:
ln 2 cdot 2^33 = ln 2 cdot 83 = 83 ln 2
Para z = 0, ln 0 tende ao infinito negativo, mas multiplicado por 0^3 que é 0, o limite dessa parte é 0.
Então:
( ln z cdot z^33 ) |0^2 = 83 ln 2 - 0 = 83 ln 2

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral restante:
- integral0^2 z^23 , dz = -13 integral0^2 z^2 , dz
Integrando z^2:
integral z^2 , dz = z^33
Então:
-13 ( z^33 ) |0^2 = -19 ( 2^3 - 0^3 ) = -19 cdot 8 = -89

Resposta

Somando as duas partes:
83 ln 2 - 89 = 249 ln 2 - 89 = 24 ln 2 - 89 = 8 (3 ln 2 - 1)9
Portanto, a integral avaliada é:
integral0^2 z^2 ln z , dz = 8 (3 ln 2 - 1)9

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