Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule aquelas que são convergentes.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
Aqui temos duas fontes de impropriedade: em
(onde
) e em
. Vamos usar a substituição
e depois aplicar o teste de
-integral para analisar cada trecho.
Passo 2
Com
nota-se que quando
temos
, e quando
temos
. Além disso
logo
Passo 3
Para estudar a convergência de
quebramos em
Passo 4
Analisando
tratando-se de um
-integral com
, sabemos que ele converge. De fato,
Passo 5
Agora o trecho
é também um
-integral, mas para
em torno de
. Como
, ele diverge:
Portanto a parte próxima a
faz com que a integral total seja divergente.
Resposta
A integral diverge.