Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule aquelas que são convergentes.
(a) integral1^infty 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^infty1x(ln x)^3,dx
Aqui temos duas fontes de impropriedade: em x=1 (onde ln xto0) e em xtoinfty. Vamos usar a substituição
t=ln x, dt=dxx,
e depois aplicar o teste de p-integral para analisar cada trecho.

Passo 2

Com t=ln x nota-se que quando x=1 temos t=0, e quando xtoinfty temos ttoinfty. Além disso
dxx=dt e (ln x)^3=t^3,
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integral1^infty1x(ln x)^3,dx = integral0^inftyt^-3,dt

Passo 3

Para estudar a convergência de integral0^inftyt^-3,dt quebramos em
integral0^1t^-3,dt e integral1^inftyt^-3,dt

Passo 4

Analisando
integral1^inftyt^-3,dt,
tratando-se de um p-integral com p=3>1, sabemos que ele converge. De fato,
integral1^inftyt^-3,dt =limAtoinftyl[-tfrac12,t^-2r]1^A =12

Passo 5

Agora o trecho
integral0^1t^-3,dt
é também um p-integral, mas para p=3 em torno de t=0. Como p>=1, ele diverge:
integral0^1t^-3,dt =limvarepsilonto0^+l[-tfrac12,t^-2r]varepsilon^1 =limvarepsilonto0^+l(-tfrac12+tfrac12varepsilon^2r) =+infty
Portanto a parte próxima a t=0 faz com que a integral total seja divergente.

Resposta

A integral diverge.

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