Usando a técnica de substituição, calcule as integrais indefinidas a seguir. Ao final do exercício é importante que você tenha percebido a principal característica de integrais que podem ser calculadas por meio desta técnica.
(b) integral x sen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por substituição, a integral indefinida
integral xsin(x^2),dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição de variável, indicada quando o integrando apresenta uma função composta e sua derivada.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2,
pois a derivada de x^2 — isto é, 2x — aparece multiplicando a função sin(x^2).

Passo 3

Derivamos u em relação a x:
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Substituindo na integral original, ficamos com
integral xsin(x^2),dx = integral sin(u),du2 = 12integral sin(u),du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral sin(u),du = -cos(u)+C,
logo
12integral sin(u),du = -12cos(u)+C

Passo 5

Voltando à variável original x (ou seja, u=x^2), obtemos
-12cos(x^2)+C
A principal característica desse método é reconhecer no integrando uma função composta f(g(x)) multiplicada pela derivada g'(x), o que permite a substituição direta.

Resposta

-tfrac12cos(x^2)+C

Exercícios relacionados