Determine as integrais abaixo utilizando coordenadas polares:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre o disco de raio 1. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, já que a região é circular e o integrando depende só de
. Vamos usar as fórmulas
,
e lembrar que o jacobiano é
.
Passo 2
Em coordenadas polares a região fica definida por
e o integrando
vira
. Além disso, o elemento de área
vira
. Assim a integral se transforma em
Passo 3
Agora vamos separar as integrais, pois não há acoplamento entre
e
:
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
, logo
ou
. Os limites em
vão de 0 a 1. Assim:
Passo 5
A parte angular é simples:
Passo 6
Multiplicando os resultados das duas integrais obtemos