Determine as integrais abaixo utilizando coordenadas polares:
© integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 sen(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-1^1integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2sin(x^2+y^2),dx,dy
sobre o disco de raio 1. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, já que a região é circular e o integrando depende só de x^2+y^2. Vamos usar as fórmulas x=rcostheta, y=rsintheta e lembrar que o jacobiano é r.

Passo 2

Em coordenadas polares a região fica definida por
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi,
e o integrando sin(x^2+y^2) vira sin(r^2). Além disso, o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Assim a integral se transforma em
integral0^2piintegral0^1sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

Agora vamos separar as integrais, pois não há acoplamento entre r e theta:
integral0^2pi,dthetatimesintegral0^1sin(r^2),r,dr

Passo 4

Para calcular integral0^1sin(r^2),r,dr fazemos a substituição u=r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=du/2. Os limites em u vão de 0 a 1. Assim:
integral0^1sin(r^2),r,dr=12integral0^1sin(u),du=12l[-cos(u)r]0^1=12l(1-cos(1)r)

Passo 5

A parte angular é simples:
integral0^2pidtheta=2pi

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais obtemos
2pitimes12l(1-cos(1)r)=pil(1-cos(1)r)

Resposta

pil(1-cos(1)r)

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