Determine as integrais abaixo utilizando coordenadas polares:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2)^32 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2integral0^raiz4-x^2l(x^2+y^2r)^32,dy,dx
usando coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, com (x,y)mapsto(r,theta).

Passo 2

Primeiro identificamos a região de integração em coordenadas cartesianas:
0<= x<=2, 0<= y<=raiz4-x^2
Isso é justamente o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante. Em polares:
0<= r<=2, 0<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2, dA = dy,dx = r,dr,dtheta
Logo o integrando fica
l(x^2+y^2r)^32 = (r^2)^32 = r^3,
e o elemento de área traz mais um fator r, totalizando r^4.

Passo 4

A integral em polares é
integral0^pi2integral0^2r^4,dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^2r^4,dr =[r^55]0^2 =2^55 =325
Agora integramos em theta:
integral0^pi2325,dtheta =325,l[thetar]0^pi2 =325cdotpi2 =16pi5

Resposta

16pi5

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