Determine as integrais definidas (com a regra da substituição): integrala^b f(x) d x
f(x)=x^3(1+x^4)^3 ; a=0 e b=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 x^3l(1+x^4r)^3 ,dx, usando a regra da substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição e vamos precisar relacionar x^3dx com du.

Passo 2

Definimos a substituição u = 1 + x^4. Calculando o diferencial, temos du = 4x^3dx, portanto x^3dx = tfracdu4.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração: quando x=0, u=1+0^4=1; quando x=1, u=1+1^4=2. Assim a integral original se transforma em
integral0^1 x^3l(1+x^4r)^3 ,dx = integral1^2 u^3 du4

Passo 4

Agora integramos em u e avaliamos nos novos limites. Primeiro,
14integral1^2 u^3 ,du = 14cdot u^44 g|1^2 = u^416g|1^2
Avaliando de 1 a 2,
2^416 - 1^416 = 16 - 116 = 1516

Resposta

1516

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