Seja a sequência tal que
a1=raiz3, a2=raiz3+2 a1, a3=raiz3+2 a2, an+1=raiz3+2 an. Use o Método da indução para mostrar que
i) Mostre que 1.

Passo 1

Temos a sequência definida por
a1=raiz3, an+1=raiz3+2,an
e queremos mostrar que para todo n vale 1 usando indução.

Passo 2

Verificação da base (n=1):
Calculamos a1=raiz3. Como raiz3approx1.732>1 e raiz3<3, temos 1, ou seja, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo:
Suponha que para algum k≥1 já valha 1. Então
ak+1=raiz3+2ak
Como ak>1, temos 3+2ak>3+2cdot1=5, logo
ak+1=raiz3+2ak>raiz5>1
E como ak<=3, vem 3+2ak<=3+2cdot3=9, então
ak+1=raiz3+2ak<=raiz9=3
Portanto, sob a hipótese indutiva, mostramos que 1.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade 1 vale para todo n∈ℕ.

Resposta

1

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