Seja a sequência tal que
. Use o Método da indução para mostrar que
i) Mostre que
.
i) Mostre que
Passo 1
Temos a sequência definida por
e queremos mostrar que para todo n vale
usando indução.
Passo 2
Verificação da base (n=1):
Calculamos . Como
e
, temos
, ou seja, a propriedade vale para n=1.
Calculamos
Passo 3
Passo indutivo:
Suponha que para algum k≥1 já valha . Então
Suponha que para algum k≥1 já valha
Como
, temos
, logo
E como
, vem
, então
Portanto, sob a hipótese indutiva, mostramos que
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
vale para todo n∈ℕ.