Determine as integrais definidas (com a regra da substituição): integrala^b f(x) d x
f(x)=5 x(4+x^2)^2 ; a=0 e b=1

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de $ f(x) = \frac{5x}{(4 + x{2}){2}} $ de $ a = 0 $ até $ b = 1 $. Isso envolve usar a regra da substituição, que é uma técnica para facilitar a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar. Olhando para $ f(x) = \frac{5x}{(4 + x{2}){2}} $, percebemos que o denominador $ (4 + x{2}){2} $ tem uma expressão que podemos usar.

Passo 3

Vamos definir $ u = 4 + x^{2} $. Isso significa que precisamos expressar $ dx $ em termos de $ du $. Para isso, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
u = 4 + x^2
Então, podemos resolver para $ x , dx $:
dx

Passo 4

Agora, substituímos $ u $ e $ x , dx $ na integral original:
u
Calculando os limites de integração para $ u $:
x , dx
Então, a integral fica:
integral0^1 5x(4 + x^2)^2 , dx = integralu(0)^u(1) 5u^2 cdot du2

Passo 5

Vamos integrar $ u^{-2} $ em relação a $ u $:
u^-2
Aplicando isso na nossa integral:
u

Passo 6

Agora, calculamos a diferença dentro dos colchetes:
-15 + 14 = -4 + 520 = 120
Multiplicando pelo $ \frac{5}{2} $:
52

Resposta

O valor da integral definida é $ \frac{1}{8} $.

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