Determine as integrais definidas (com a regra da substituição):
a=0
e
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de $ f(x) = \frac{5x}{(4 + x{2}){2}} $ de $ a = 0 $ até $ b = 1 $. Isso envolve usar a regra da substituição, que é uma técnica para facilitar a integração de funções mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar. Olhando para $ f(x) = \frac{5x}{(4 + x{2}){2}} $, percebemos que o denominador $ (4 + x{2}){2} $ tem uma expressão que podemos usar.
Passo 3
Vamos definir $ u = 4 + x^{2} $. Isso significa que precisamos expressar $ dx $ em termos de $ du $. Para isso, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Então, podemos resolver para $ x , dx $:
Passo 4
Agora, substituímos $ u $ e $ x , dx $ na integral original:
Calculando os limites de integração para $ u $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar $ u^{-2} $ em relação a $ u $:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Agora, calculamos a diferença dentro dos colchetes:
Multiplicando pelo $ \frac{5}{2} $:
Resposta
O valor da integral definida é $ \frac{1}{8} $.