Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de an e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência ( an ) tal que a0=1 e n an=an-1 para n >= 1.

Passo 1

O enunciado define a sequência $ (a_n) $ por (an) e, para a0 = 1, pela relação de recorrência n>=1. Vamos usar conceitos de fatoriais e indução finita para encontrar a fórmula geral.

Passo 2

A partir da recorrência an = tfracan-1n, computamos os sete primeiros termos iniciando em a0:
  • a0 = 1
  • a1 = tfraca01 = 1
  • a2 = tfraca12 = tfrac12
  • a3 = tfraca23 = tfrac16
  • a4 = tfraca34 = tfrac124
  • a5 = tfraca45 = tfrac1120
  • a6 = tfraca56 = tfrac1720
    Observamos que cada an coincide com 1/n!. Assim, fazemos o palpite
an = 1n!, n>=0

Passo 3

Para confirmar por indução finita, adotamos os passos:
  • Base ( n=0): Pela definição, a0=1. E 1/0! = 1, logo vale.
  • Hipótese de indução: suponha que ak-1 = 1/(k-1)! para algum k>=1.
  • Passo indutivo: pela recorrência,
ak = ak-1k = 1/(k-1)!k = 1k!
Isso mostra que a fórmula vale para k, completando a indução.

Passo 4

Portanto, a expressão geral está confirmada por indução finita.

Resposta

Os sete primeiros termos são 1, 1, tfrac12, tfrac16, tfrac124, tfrac1120, tfrac1720, e a expressão geral é an=tfrac1n!.

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