Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência (
) tal que
e
para
.
a) Seja a sequência (
Passo 1
O enunciado define a sequência $ (a_n) $ por
e, para
, pela relação de recorrência
. Vamos usar conceitos de fatoriais e indução finita para encontrar a fórmula geral.
Passo 2
A partir da recorrência
, computamos os sete primeiros termos iniciando em
:
-
-
-
-
-
-
-
Observamos que cadacoincide com . Assim, fazemos o palpite
Passo 3
Para confirmar por indução finita, adotamos os passos:
- Base (
): Pela definição, . E , logo vale. - Hipótese de indução: suponha que
para algum . - Passo indutivo: pela recorrência,
Isso mostra que a fórmula vale para
, completando a indução.
Passo 4
Portanto, a expressão geral está confirmada por indução finita.
Resposta
Os sete primeiros termos são
, e a expressão geral é
.