Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar: a expressão contém as funções trigonométricas
,
e
; é uma integral indefinida (então adicionaremos uma constante
no final). Note que a expressão está definida onde
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica do integrando usando as definições trigonométricas básicas. Lembre que
Substituindo na integral, obtemos (mostro a simplificação passo a passo):
Outra forma equivalente, usando
, é
Portanto a integral passa a ser
Passo 3
Agora escolhemos um método para integrar. Uma ideia prática e muito usada é a substituição
-substituição. Procuramos uma função
cuja derivada apareça (talvez multiplicando) no integrando. Note que
aparece com potência e
é exatamente (com sinal) a derivada de
. Por isso escolhemos
Explico a motivação: se
, então
, ou seja
. Assim conseguimos transformar a parte
do integrando em
e as potências de
em potências de
.
Passo 4
Fazendo a troca na integral
usando
e
, obtemos
Aqui apliquei a regra de substituição: toda expressão em
foi reescrita em
e o diferencial
foi trocado por
, mas como já sabemos
simplificamos direto.
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência para integrais. A fórmula é: para
,
No nosso caso
, então
Como há um fator negativo na frente (lembre do passo anterior), temos
Passo 6
Voltando à variável original
através de
, obtemos
Usando
, podemos escrever a solução de forma mais habitual:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando
pelo teorema da cadeia e a regra do produto obtemos
que é exatamente a forma
do nosso integrando (ou, equivalente,
). Logo a primitiva está correta.