Calcule a integral indefinida:
\int \frac{\tan x \operatorname{sec} ^{2} x}{\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\tan x \operatorname{sec}^{2} x}{\cos x}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: a expressão contém as funções trigonométricas \tan x, \operatorname{sec} x e \cos x; é uma integral indefinida (então adicionaremos uma constante C no final). Note que a expressão está definida onde \cos x\neq 0.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica do integrando usando as definições trigonométricas básicas. Lembre que
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\qquad\text{e}\qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Substituindo na integral, obtemos (mostro a simplificação passo a passo):
\frac{\tan x \operatorname{sec}^{2} x}{\cos x} = \tan x\cdot\frac{\operatorname{sec}^{2} x}{\cos x} = \tan x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{\cos x} = \tan x\cdot\frac{1}{\cos^{3}x}.
Outra forma equivalente, usando \tan x=\sin x/\cos x, é
\tan x\cdot\frac{1}{\cos^{3}x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos^{3}x}=\frac{\sin x}{\cos^{4}x}.
Portanto a integral passa a ser
\int \frac{\tan x \operatorname{sec}^{2} x}{\cos x}\,dx=\int \tan x\operatorname{sec}^{3}x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos^{4}x}\,dx.

Passo 3

Agora escolhemos um método para integrar. Uma ideia prática e muito usada é a substituição u-substituição. Procuramos uma função u(x) cuja derivada apareça (talvez multiplicando) no integrando. Note que \cos x aparece com potência e \sin x\,dx é exatamente (com sinal) a derivada de \cos x. Por isso escolhemos
u=\cos x.
Explico a motivação: se u=\cos x, então du = -\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx = -du. Assim conseguimos transformar a parte \sin x\,dx do integrando em du e as potências de \cos x em potências de u.

Passo 4

Fazendo a troca na integral \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^{4}x}\,dx usando u=\cos x e \sin x\,dx=-du, obtemos
\int \frac{\sin x}{\cos^{4}x}\,dx = \int \frac{-du}{u^{4}} = -\int u^{-4}\,du.
Aqui apliquei a regra de substituição: toda expressão em x foi reescrita em u e o diferencial dx foi trocado por -du/\sin x, mas como já sabemos \sin x\,dx=-du simplificamos direto.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para integrais. A fórmula é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-4, então
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{3}u^{-3}+C.
Como há um fator negativo na frente (lembre do passo anterior), temos
-\int u^{-4}\,du = -\left(-\frac{1}{3}u^{-3}\right)+C = \frac{1}{3}u^{-3}+C.

Passo 6

Voltando à variável original x através de u=\cos x, obtemos
\frac{1}{3}u^{-3}+C = \frac{1}{3}\cos^{-3}x + C.
Usando \cos^{-3}x=(\operatorname{sec} x)^{3}=\operatorname{sec}^{3}x, podemos escrever a solução de forma mais habitual:
\frac{1}{3}\cos^{-3}x + C = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x + C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando F(x)=\dfrac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x pelo teorema da cadeia e a regra do produto obtemos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=\operatorname{sec}^{3}x\tan x,
que é exatamente a forma \tan x\operatorname{sec}^{3}x do nosso integrando (ou, equivalente, \dfrac{\sin x}{\cos^{4}x}). Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x+C

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