Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral-infty^infty 11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral-infty^infty11+x^2,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias em limites infinitos e usaremos conhecimento de antiderivadas e limites.

Passo 2

Transformamos a integral em dois limites simétricos: integral-infty^infty11+x^2,dx=limAtoinftyintegral-A^A11+x^2,dx Isso mostra que estamos diante de uma integral impropria com limites que vão para infinito.

Passo 3

Sabemos que uma primitiva de 11+x^2 é arctan(x). Portanto,
integral-A^A11+x^2,dx=l[arctan(x)r]-A^A=arctan(A)-arctan(-A)

Passo 4

Tomando o limite quando Atoinfty, temos arctan(A)totfracpi2 e arctan(-A)to-tfracpi2. Logo,
limAtoinftyl(arctan(A)-arctan(-A)r)=pi2-l(-pi2r)=pi Concluímos que a integral converge e seu valor é pi.

Resposta

Converge e vale pi.

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