Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral1^infty 1+e^-xx d x

Passo 1

Neste exercício, temos a integral imprópria
integral1^infty 1+e^-xx ,dx
O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias e vamos precisar usar decomposição da função e testes de comparação.

Passo 2

Observe que podemos escrever
1+e^-xx = 1x + e^-xx
Então a integral se separa em duas:
integral1^infty 1+e^-xx ,dx = integral1^infty 1x ,dx + integral1^infty e^-xx ,dx

Passo 3

Analisando cada parte:
integral1^infty 1x ,dx é a integral do tipo harmônico, cujo valor é
limRtoinfty integral1^R 1x ,dx = limRtoinfty [ln(R) - ln(1)] = +infty
Logo essa parte diverge.
integral1^infty e^-xx ,dx converge, pois usamos comparação com a função e^-x: para x>=1,
0 <= e^-xx <= e^-x
e integral1^infty e^-x ,dx converge (é uma exponencial decrescente).

Passo 4

Como uma das parcelas diverge, a soma
integral1^infty 1x ,dx + integral1^infty e^-xx ,dx
também diverge. Portanto, a integral original não converge.

Resposta

A integral diverge.

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