Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral1^e x^20 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral\n
integral1^e x^20ln x,dx
e decidir se ela converge ou diverge, aplicando conceitos de integrais e computando o valor se for apropriado. Vamos usar o conteúdo de integração por partes e o critério de continuidade para integrais próprias.

Passo 2

A função integranda é
f(x)=x^20ln x
que é contínua em todo intervalo fechado que não inclua zero nem pontos de descontinuidade de ln x. Como estamos integrando de x=1 até x=e, não há singularidades, então a integral é própria e necessariamente converge.

Passo 3

Para encontrar seu valor, aplicamos integração por partes escolhendo
u=ln x, dv=x^20,dx
Então
du=1x,dx, v=x^2121
Pela fórmula de partes:
integral x^20ln x,dx=x^2121ln x-integral x^2121cdot1x,dx

Passo 4

O segundo termo simplifica-se assim:
integral x^2121cdot1x,dx=121integral x^20,dx=121cdotx^2121=x^2121^2
Portanto,
integral x^20ln x,dx=x^2121ln x-x^2121^2+C

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a e:
l[x^2121ln x-x^2121^2r]1^e= l(e^2121cdot1-e^2121^2r)-l(1^2121cdot0-1^2121^2r)
Isso dá
e^2121-e^2121^2+121^2=e^21(21-1)+121^2=20e^21+1441

Passo 6

Como a integral é própria e obtemos um valor finito, concluímos que ela converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 20e^21+1441.

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