Determine se as integrais divergem ou convergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral\n
e decidir se ela converge ou diverge, aplicando conceitos de integrais e computando o valor se for apropriado. Vamos usar o conteúdo de integração por partes e o critério de continuidade para integrais próprias.
Passo 2
A função integranda é
que é contínua em todo intervalo fechado que não inclua zero nem pontos de descontinuidade de
. Como estamos integrando de
até
, não há singularidades, então a integral é própria e necessariamente converge.
Passo 3
Para encontrar seu valor, aplicamos integração por partes escolhendo
Então
Pela fórmula de partes:
Passo 4
O segundo termo simplifica-se assim:
Portanto,
Passo 5
Agora avaliamos de
a
:
Isso dá
Passo 6
Como a integral é própria e obtemos um valor finito, concluímos que ela converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.